Geometriniai takai ir tankmÄs
RaÅ¡ydamas šį straipsnį prisiminiau labai senÄ Jano Pietrzako dainÄ , kuriÄ jis dainavo prieÅ¡ savo satyrinÄ veiklÄ kabarete âPod EgidÄ â, pripaÅŸintame Lenkijos Liaudies Respublikoje kaip apsauginis voÅŸtuvas; galima bÅ«tų nuoÅ¡irdÅŸiai juoktis iÅ¡ sistemos paradoksų. Å ioje dainoje autorius rekomendavo socialistinį politinį dalyvavimÄ , paÅ¡iepdamas norinÄius bÅ«ti apolitiÅ¡kus ir laikraÅ¡tyje iÅ¡jungdamas radijÄ . âGeriau grįşti į mokyklÄ skaitytiâ, â ironiÅ¡kai dainavo tuometinis XNUMX metų Petshakas.
Grįştu į mokyklÄ skaitydamas. Dar kartÄ skaitau (ne pirmÄ kartÄ ) Å Äepano Jelenskio (1881-1949) knygÄ âLylavatiâ. Nedaugeliui skaitytojų pats ÅŸodis kaÅŸkÄ pasako. Tai garsaus induistų matematiko, ÅŸinomo kaip Bhaskara (1114â1185), duktÄ, vardu Akaria, arba iÅ¡minÄius, pavadinÄs savo knygÄ apie algebrÄ tokiu vardu. VÄliau Lilavati pati tapo ÅŸinoma matematike ir filosofe. Kitų Å¡altinių teigimu, bÅ«tent ji pati paraÅ¡Ä knygÄ .
Szczepan Yelensky suteikÄ tokį patį pavadinimÄ savo knygai apie matematikÄ (pirmasis leidimas, 1926). Å iÄ knygÄ gal net sunku pavadinti matematiniu darbu â tai buvo daugiau galvosÅ«kių rinkinys, o daugiausia perraÅ¡ytas iÅ¡ prancÅ«ziÅ¡kų Å¡altinių (autorių teisÄs Å¡iuolaikine prasme neegzistavo). Å iaip ar taip, daugelį metų tai buvo vienintelÄ populiari lenkų matematikos knyga â vÄliau prie jos buvo pridÄta antroji Jelenskio knyga Pitagoro saldainiai. Taigi jaunimas, besidomintis matematika (kaÅŸkada bÅ«tent tokia buvau aÅ¡), neturÄjo iÅ¡ ko rinktis...
kita vertus, âLilavatiâ teko paÅŸinti beveik mintinai... Ai, buvo laikai... DidÅŸiausias jų privalumas, kad aÅ¡ tada buvau... paauglys. Å iandien gerai iÅ¡silavinusio matematiko poÅŸiÅ«riu į Lilavatį ÅŸiÅ«riu visai kitaip â ââgal kaip alpinistas tako vingiuose į Shpiglasova Pshelench. Nei vienas, nei kitas nepraranda savo ÅŸavesio... Jam bÅ«dingu stiliumi Å Äepanas Jelenskis, savo asmeniniame gyvenime iÅ¡paşįstantis taip vadinamas tautines idÄjas, pratarmÄje raÅ¡o:
Neliesdamas nacionalinių charakteristikų apraÅ¡ymo, pasakysiu, kad ir po devyniasdeÅ¡imties metų Jelenskio ÅŸodÅŸiai apie matematikÄ neprarado savo aktualumo. Matematika moko mÄ styti. Tai faktas. Ar galime jus iÅ¡mokyti mÄ styti kitaip, paprasÄiau ir graÅŸiau? Gal bÅ«t. Tiesiog... mes vis dar negalime. Savo mokiniams, nenorintiems skaiÄiuoti matematikos, aiÅ¡kinu, kad tai â ir jų intelekto iÅ¡bandymas. Jeigu tu nesugebi iÅ¡mokti tikrai paprastos matematikos teorijos, tai... gal tavo protiniai gebÄjimai prastesni nei mes abu norÄtųsi...?
Åœenklai smÄlyje
O Å¡tai pirmasis pasakojimas âLylavatiâ â prancÅ«zų filosofo Josepho de Maistre'o (1753-1821) apraÅ¡yta istorija.
JÅ«reivį iÅ¡ suduÅŸusio laivo bangos iÅ¡metÄ Ä¯ tuÅ¡ÄiÄ krantÄ , kurį jis laikÄ negyvenamu. Staiga pakrantÄs smÄlyje jis pamatÄ prieÅ¡ kÄ nors nupieÅ¡tÄ geometrinÄs figÅ«ros pÄdsakÄ . Tada jis suprato, kad sala nÄra apleista!
Cituodamas de Mestri, Jelenskis raÅ¡o: geometrinÄ figÅ«ratai bÅ«tų buvÄ nebyli iÅ¡raiÅ¡ka nelaimingajam, suduÅŸusiam laivui, atsitiktinumas, bet jis iÅ¡ pirmo ÅŸvilgsnio parodÄ jam proporcijÄ ir skaiÄių, ir tai skelbÄ apie apsiÅ¡vietusį ÅŸmogų. Tiek apie istorijÄ .
Atkreipkite dÄmesį, kad jÅ«reivis sukels tokiÄ pat reakcijÄ , pavyzdÅŸiui, nupieÅ¡damas raidÄ K, ... ir bet kokius kitus asmens buvimo pÄdsakus. Äia geometrija idealizuojama.
TaÄiau astronomas Camille'as Flammarionas (1847-1925) pasiÅ«lÄ, kad civilizacijos sveikintųsi viena su kita per atstumÄ naudodamos geometrijÄ . Jis tame matÄ vienintelį teisingÄ ir įmanomÄ bendravimo bandymÄ . Parodykime tokiems marsieÄiams Pitagoro trikampius... mums atsakys Talis, mes jiems Vietos raÅ¡tais, jų ratas tilps į trikampį, taip prasidÄjo draugystÄ...
Tokie raÅ¡ytojai kaip Åœiulis Vernas ir Stanislavas Lemas grįşo prie Å¡ios minties. O 1972 metais plytelÄs su geometriniais (ir ne tik) raÅ¡tais buvo dedamos ant zondo Pioneer, kuris iki Å¡iol kerta kosmoso platybes, dabar jau beveik 140 astronominių vienetų nuo mÅ«sų (1 I yra vidutinis ÅœemÄs atstumas nuo ÅœemÄs) . SaulÄ, t.y., apie 149 mln. km). Plyteles iÅ¡ dalies sukÅ«rÄ astronomas Frankas Drake'as, prieÅ¡taringos taisyklÄs dÄl neÅŸemiÅ¡kų civilizacijų skaiÄiaus kÅ«rÄjas.
Geometrija nuostabi. Visi ÅŸinome bendrÄ poÅŸiÅ«rį į Å¡io mokslo kilmÄ. Mes (mes, ÅŸmonÄs) kÄ tik pradÄjome matuoti ÅŸemÄ (o vÄliau ir ÅŸemÄ) utilitariÅ¡kiausiais tikslais. Atstumų nustatymas, tiesių brÄÅŸimas, staÄių kampų ÅŸymÄjimas ir tÅ«rių skaiÄiavimas pamaÅŸu tapo bÅ«tinybe. Taigi visas dalykas geometrija (âÅœemÄs matavimasâ), taigi visa matematika ...
TaÄiau kurį laikÄ Å¡is aiÅ¡kus mokslo istorijos vaizdas mus temdÄ. Nes jei matematika bÅ«tų reikalinga tik operaciniams tikslams, mes nesiimtume įrodinÄti paprastų teoremų. âMatote, kad tai iÅ¡vis turÄtų bÅ«ti tiesaâ, â sakytumÄte patikrinus, ar keliuose staÄiakampiuose trikampiuose hipotenuzÄs kvadratų suma yra lygi hipotenuzÄs kvadratui. KodÄl toks formalizmas?
Slyvų pyragas turi bÅ«ti skanus, kompiuterinÄ programa turi veikti, maÅ¡ina turi veikti. Jei trisdeÅ¡imt kartų skaiÄiavau statinÄs talpÄ ir viskas tvarkoje, tai kam dar?
Tuo tarpu senovÄs graikams kilo mintis, kad reikia rasti oficialių įrodymų.
Taigi, matematika prasideda nuo Talio (625â547 m. pr. Kr.). SpÄjama, kad bÅ«tent Miletas pradÄjo domÄtis, kodÄl. Protingiems ÅŸmonÄms neuÅŸtenka to, kad jie kaÅŸkÄ pamatÄ, kad kaÅŸkuo yra įsitikinÄ. Jie suprato, kad reikia įrodymų, loginÄs argumentų sekos nuo prielaidos iki tezÄs.
Jie taip pat norÄjo daugiau. Tikriausiai Talisas pirmasis bandÄ paaiÅ¡kinti fizinius reiÅ¡kinius natÅ«ralistiniu bÅ«du, be dieviÅ¡ko įsikiÅ¡imo. Europos filosofija prasidÄjo nuo gamtos filosofijos â nuo ââto, kas jau yra uÅŸ fizikos (iÅ¡ Äia ir pavadinimas: metafizika). TaÄiau Europos ontologijos ir gamtos filosofijos pagrindus padÄjo pitagorieÄiai (Pitagoras, apie 580âapie 500 m. pr. Kr.).
Apeninų pusiasalio pietuose esanÄiame Krotone jis įkÅ«rÄ savo mokyklÄ â Å¡iandien tai vadintume sekta. Mokslas (dabartine to ÅŸodÅŸio prasme), mistika, religija ir fantazija yra glaudÅŸiai susijÄ. Thomas Mannas romane âDaktaras Faustasâ labai graÅŸiai pristatÄ matematikos pamokas vokieÄių gimnazijoje. IÅ¡vertÄ Maria Kuretskaya ir Witold Virpsha, Å¡is fragmentas skamba:
Ä®domioje Charleso van Doreno knygoje âÅœinių istorija nuo istorijos auÅ¡ros iki Å¡ių dienųâ radau labai įdomų poÅŸiÅ«rį. Viename iÅ¡ skyrių autorius apraÅ¡o Pitagoro mokyklos reikÅ¡mÄ. Mane suÅŸavÄjo pats skyriaus pavadinimas. Jame raÅ¡oma: âMatematikos iÅ¡radimas: pitagorieÄiaiâ.
DaÅŸnai diskutuojame, ar matematinÄs teorijos atrandamos (pvz., neÅŸinomos ÅŸemÄs), ar iÅ¡randamos (pvz., maÅ¡inos, kurių anksÄiau nebuvo). Vieni kÅ«rybingi matematikai save laiko tyrinÄtojais, kiti â iÅ¡radÄjais ar dizaineriais, reÄiau skaitikliais.
TaÄiau Å¡ios knygos autorius raÅ¡o apie matematikos iÅ¡radimÄ apskritai.
Nuo perdÄjimo iki kliedesio
Po Å¡ios ilgos įşanginÄs dalies pereisiu prie paÄios pradÅŸios. geometrijaapibÅ«dinti, kaip per didelis pasitikÄjimas geometrija gali suklaidinti mokslininkÄ . Johanesas Kepleris fizikoje ir astronomijoje ÅŸinomas kaip trijų dangaus kÅ«nų judÄjimo dÄsnių atradÄjas. Pirma, kiekviena SaulÄs sistemos planeta sukasi aplink SaulÄ elipsÄs formos orbita, kurios viename iÅ¡ ÅŸidinių yra saulÄ. Antra, reguliariais intervalais pagrindinis planetos spindulys, paimtas iÅ¡ SaulÄs, traukia vienodus laukus. TreÄia, planetos apsisukimo aplink SaulÄ periodo kvadrato ir jos orbitos pusiau pagrindinÄs aÅ¡ies kubo santykis (ty vidutinis atstumas nuo SaulÄs) yra pastovus visoms SaulÄs sistemos planetoms.
GalbÅ«t tai buvo treÄiasis dÄsnis â jam nustatyti prireikÄ daug duomenų ir skaiÄiavimų, kas paskatino Keplerį toliau ieÅ¡koti planetų judÄjimo ir padÄties dÄsnių. Jo naujojo âatradimoâ istorija labai pamokanti. Nuo seniausių laikų ÅŸavÄjomÄs ne tik taisyklingais daugiakampiais, bet ir argumentais, rodanÄiais, kad kosmose jų yra tik penki. Trimatis daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei jo pavirÅ¡iai yra identiÅ¡ki taisyklingi daugiakampiai ir kiekviena virÅ¡Å«nÄ turi tiek pat briaunų. Iliustruojant, kiekvienas įprasto daugiakampio kampas turÄtų âatrodyti taip patâ. Garsiausias daugiakampis yra kubas. Visi yra matÄ paprastÄ kulkÅ¡nį.
Taisyklingasis tetraedras yra maÅŸiau ÅŸinomas, o mokykloje jis vadinamas taisyklingÄ ja trikampe piramide. Tai atrodo kaip piramidÄ. LikÄ trys taisyklingi daugiakampiai yra maÅŸiau ÅŸinomi. Oktaedras susidaro, kai sujungiame kubo kraÅ¡tinių centrus. Dodekaedras ir ikosaedras jau atrodo kaip kamuoliukai. Pagaminti iÅ¡ minkÅ¡tos odos, juos bÅ«tų patogu kasti. Motyvavimas, kad nÄra taisyklingų daugiakampių, iÅ¡skyrus penkis platoniÅ¡kus kietuosius kÅ«nus, yra labai geras. Pirma, mes suprantame, kad jei kÅ«nas yra taisyklingas, tai tas pats skaiÄius (tegul q) identiÅ¡kų taisyklingųjų daugiakampių turi susilieti kiekvienoje virÅ¡Å«nÄje, tegul tai yra p kampai. Dabar turime prisiminti, koks yra įprasto daugiakampio kampas. Jei kas nors neprisimena iÅ¡ mokyklos, primename, kaip rasti tinkamÄ modelį. IÅ¡keliavome uÅŸ kampo. Kiekvienoje virÅ¡Å«nÄje pasukame tuo paÄiu kampu a. ApvaÅŸiavÄ daugiakampį ir grÄ¯ÅŸÄ Ä¯ pradinį taÅ¡kÄ , padarÄme p tokių posÅ«kių, o iÅ¡ viso apsisukome 360 ââlaipsnių kampu.
TaÄiau α yra kampo, kurį norime apskaiÄiuoti, 180 laipsnių komplementas, todÄl yra
Mes radome taisyklingo daugiakampio kampo (matematikas sakytų: kampo matai) formulÄ. Patikrinkime: trikampyje p = 3 a nÄra
Kaip Å¡itas. Kai p = 4 (kvadratas), tada
laipsniai irgi gerai.
KÄ mes gauname uÅŸ penkiakampį? Taigi, kas atsitinka, kai yra q daugiakampių, kurių kiekvienas p turi tuos paÄius kampus
laipsniai, besileidÅŸiantys vienoje virÅ¡Å«nÄje? Jei jis bÅ«tų plokÅ¡tumoje, susidarytų kampas
laipsnių ir negali bÅ«ti didesnis nei 360 laipsnių â nes tada daugiakampiai persidengia.
TaÄiau kadangi Å¡ie daugiakampiai susikerta erdvÄje, kampas turi bÅ«ti maÅŸesnis uÅŸ visÄ kampÄ .
Ir Äia yra nelygybÄ, iÅ¡ kurios viskas iÅ¡plaukia:
Padalinkite jį iÅ¡ 180, abi dalis padauginkite iÅ¡ p, eilÄs (p-2) (q-2) < 4. Kas toliau? Åœinokime, kad p ir q turi bÅ«ti natÅ«ralÅ«s skaiÄiai ir kad p > 2 (kodÄl? O kas yra p?), taip pat q > 2. NÄra daug bÅ«dų, kaip padaryti, kad dviejų natÅ«raliųjų skaiÄių sandauga bÅ«tų maÅŸesnÄ uÅŸ 4. iÅ¡vardinsiu juos visus 1 lentelÄje.
PieÅ¡inių neskelbiu, internete visi gali pamatyti Å¡ias figÅ«ras... Internete... Neatsisakysiu lyrinio nukrypimo - galbÅ«t tai įdomu jauniesiems skaitytojams. 1970 metais kalbÄjau seminare. Tema buvo sunki. TurÄjau maÅŸai laiko pasiruoÅ¡ti, sÄdÄdavau vakarais. Pagrindinis straipsnis buvo tik skaitomas. Vieta buvo jauki, su darbine atmosfera, na, uÅŸsidarÄ septintÄ . Tada nuotaka (dabar mano ÅŸmona) pati pasiÅ«lÄ man perraÅ¡yti visÄ straipsnį: apie keliolika atspausdintų puslapių. Nukopijavau (ne, ne plunksnakoÄiu, net raÅ¡iklius turÄjome), paskaita pavyko. Å iandien bandÅŸiau rasti šį leidinį, kuris jau senas. Prisimenu tik autoriaus pavardÄ... PaieÅ¡kos internete truko ilgai... iÅ¡tisas penkiolika minuÄių. Galvoju apie tai su Å¡ypsena ir Å¡iek tiek nepagrįstu apgailestavimu.
Grįştame prie Keplera ir geometrija. Regis, Platonas numatÄ penktosios taisyklingosios formos egzistavimÄ , nes jam trÅ«ko kaÅŸko vienijanÄio, apimanÄio visÄ pasaulį. GalbÅ«t todÄl jis nurodÄ studentui (Theajtet) jos ieÅ¡koti. Kaip buvo, taip ir buvo, kurio pagrindu buvo atrastas dodekaedras. Å iÄ Platono laikysenÄ vadiname panteizmu. Visi mokslininkai, iki Niutono, didesniu ar maÅŸesniu mastu jai pasidavÄ. Nuo itin racionalaus XVIII amÅŸiaus jo įtaka smarkiai sumaÅŸÄjo, nors neturÄtume gÄdytis, kad visi vienaip ar kitaip jai pasiduodame.
Keplerio SaulÄs sistemos kÅ«rimo koncepcijoje viskas buvo teisinga, eksperimentiniai duomenys sutapo su teorija, teorija buvo logiÅ¡kai nuosekli, labai graÅŸi... bet visiÅ¡kai klaidinga. Jo laikais buvo ÅŸinomos tik Å¡eÅ¡ios planetos: Merkurijus, Venera, ÅœemÄ, Marsas, Jupiteris ir Saturnas. KodÄl yra tik Å¡eÅ¡ios planetos? â paklausÄ Kepleris. O koks dÄsningumas lemia jų atstumÄ nuo SaulÄs? Jis manÄ, kad viskas yra susijÄ geometrija ir kosmogonija yra glaudÅŸiai susijÄ vienas su kitu. IÅ¡ senovÄs graikų raÅ¡tų jis ÅŸinojo, kad yra tik penki taisyklingi daugiakampiai. Jis pamatÄ, kad tarp Å¡eÅ¡ių orbitų yra penkios tuÅ¡tumos. Tai gal kiekviena iÅ¡ Å¡ių laisvų erdvių atitinka kokį nors taisyklingÄ daugiakampį?
Po kelerių metų stebÄjimo ir teorinio darbo jis sukÅ«rÄ tokiÄ teorijÄ , kurios pagalba gana tiksliai apskaiÄiavo orbitų matmenis, kuriÄ pristatÄ knygoje âMysterium Cosmographicumâ, iÅ¡leistoje 1596 m.: Ä®sivaizduokite milÅŸiniÅ¡kÄ sferÄ , kurio skersmuo yra Merkurijaus orbitos skersmuo metiniame jo judÄjime aplink saulÄ. Tada įsivaizduokite, kad ant Å¡ios sferos yra taisyklingas oktaedras, ant jo rutulys, ant jo ikosaedras, ant jo vÄl rutulys, ant jo dodekaedras, ant jo kitas rutulys, ant jo tetraedras, tada vÄl rutulys, kubas ir galiausiai ant Å¡io kubo apraÅ¡ytas rutulys.
Kepleris padarÄ iÅ¡vadÄ , kad Å¡ių vienas po kito einanÄių sferų skersmenys yra kitų planetų: Merkurijaus, Veneros, ÅœemÄs, Marso, Jupiterio ir Saturno orbitų skersmenys. Teorija atrodÄ labai tiksli. Deja, tai sutapo su eksperimentiniais duomenimis. O kas gali bÅ«ti geresnis matematinÄs teorijos teisingumo įrodymas, nei jos atitikimas eksperimentiniams ar stebÄjimo duomenims, ypaÄ âpaimtiems iÅ¡ dangausâ? Å iuos skaiÄiavimus apibendrinu 2 lentelÄje. KÄ darÄ Kepleris? BandÅŸiau ir bandÅŸiau, kol pavyko, tai yra, kai konfigÅ«racija (sferų tvarka) ir gauti skaiÄiavimai sutapo su stebÄjimo duomenimis. Äia pateikiami Å¡iuolaikiniai Keplerio skaiÄiai ir skaiÄiavimai:
Galima pasiduoti teorijos susiÅŸavÄjimui ir manyti, kad matavimai danguje yra netikslÅ«s, o ne dirbtuvių tyloje atlikti skaiÄiavimai. Deja, Å¡iandien ÅŸinome, kad planetų yra maÅŸiausiai devynios ir visi rezultatų sutapimai yra tik atsitiktinumas. Gaila. Buvo taip graÅŸu...
