Koronaviruso ir matematikos mokymas – Iš dalies užsakytos kolekcijos

Mus užklupęs virusas skatina sparčią švietimo reformą. ypač aukštesniuose išsilavinimo lygiuose. Šia tema galite parašyti ilgesnį rašinį, tikrai bus srautas daktaro disertacijų apie nuotolinio mokymosi metodiką. Tam tikru požiūriu tai yra grįžimas prie šaknų ir pamirštų savarankiško mokymosi įpročių. Taip buvo, pavyzdžiui, Kremenec vidurinėje mokykloje (1805–31 m. gyvavusioje Kremenece, dabar Ukrainoje, vegetavo iki 1914 m., o klestėjimo laikus išgyveno 1922–1939 m.). Mokiniai ten mokėsi savarankiškai – tik pasimokę atėjo mokytojai su pataisymais, galutiniais patikslinimais, pagalba sunkiose vietose ir pan. e.Kai tapau studente, irgi sakydavo, kad žinių turėtume pasisemti patys, kad tik užsakinėk ir siųsk pamokas į universitetą. Bet tada tai buvo tik teorija...

2020 metų pavasarį ne aš vienas atradau, kad pamokas (įskaitant paskaitas, pratybas ir pan.) galima labai efektyviai vesti nuotoliniu būdu (Google Meet, Microsoft Teams ir kt.), tai kainuoja daug darbo. iš mokytojo pusės, o iš kitos pusės tiesiog noras „įgyti išsilavinimą“; bet ir su tam tikru komfortu: sėdžiu namuose, savo kėdėje, o tradicinėse paskaitose studentai taip pat dažnai darydavo ką nors kita. Tokio mokymo efektas gali būti net geresnis nei naudojant tradicinę, viduramžius menančią, klasės-pamokų sistemą. Kas iš jo liks, kai virusas pateks į pragarą? Manau... gana daug. Bet pamatysime.

Šiandien pakalbėsiu apie iš dalies užsakytus rinkinius. Tai paprasta. Kadangi dvejetainis ryšys netuščioje aibėje X vadinamas dalinės eilės ryšiu, kai egzistuoja

(Tadeušas Kotarbinskis, 1886-1981, filosofas,

Lenkijos mokslų akademijos prezidentas 1957–1962 m.).

Refleksinis, t.y. kiekvienam ∈ yra ",
Praeivis, t.y. jei ", ir ", tada ",
Pusiau asimetriškas, t.y. ("∧")→ =

Eilutė yra rinkinys, turintis tokią ypatybę: bet kurių dviejų elementų rinkinys yra „arba y“. Antichainas yra...

Sustok, sustok! Ar galima ką nors iš to suprasti? Žinoma, kad taip. Bet ar kas nors iš Skaitytojų (žinodamas kitaip) jau suprato, kas čia yra?

nemanau! Ir tai yra matematikos mokymo kanonas. Taip pat mokykloje. Pirma, padorus, griežtas apibrėžimas, o tada tie, kurie neužmigo iš nuobodulio, tikrai ką nors supras. Šį metodą primetė „didieji“ matematikos mokytojai. Jis turi būti atsargus ir griežtas. Tiesa, taip ir turi būti galiausiai. Matematika turi būti tikslusis mokslas (taip pat žiūrėkite: ).

Turiu prisipažinti, kad universitete, kuriame dirbu išėjęs į pensiją iš Varšuvos universiteto, taip pat tiek metų dėsčiau. Tik jame buvo liūdnai pagarsėjęs kibiras šalto vandens (tegul taip ir lieka: reikėjo kibiro!). Staiga didelė abstrakcija tapo lengva ir maloni. Nukreipk dėmesį: lengva nereiškia lengva. Lengvajam boksininkui taip pat sunku.

Šypsausi prisiminimais. Mane matematikos pagrindų mokė tuometinis katedros dekanas, pirmos klasės matematikas, ką tik atvykęs iš ilgos viešnagės JAV, o tai tuo metu savaime buvo kažkas nepaprasto. Manau, kad ji buvo šiek tiek snobiška, kai šiek tiek pamiršo lenkų kalbą. Ji piktnaudžiavo senaisiais lenkiškais „kas“, „todėl“, „azalija“ ir sugalvojo terminą: „pusiau asimetriniai santykiai“. Man patinka jį naudoti, jis tikrai tikslus. Man patinka. Bet aš to nereikalauju iš studentų. Tai paprastai vadinama „maža antisimetrija“. Dešimt gražių.

Seniai, nes aštuntajame dešimtmetyje (praeitame amžiuje) įvyko didžiulė, džiugi matematikos mokymo reforma. Tai sutapo su trumpo Eduardo Giereko valdymo laikotarpio pradžia – tam tikru mūsų šalies atsivėrimu pasauliui. „Vaikai taip pat gali būti mokomi aukštosios matematikos“, – sušuko Didieji Mokytojai. Vaikams buvo parengta universiteto paskaitos „Matematikos pagrindai“ santrauka. Tai buvo tendencija ne tik Lenkijoje, bet ir visoje Europoje. Išspręsti lygtį nepakako, reikėjo paaiškinti kiekvieną smulkmeną. Kad nebūtų nepagrįsti, kiekvienas iš Skaitytojų gali išspręsti lygčių sistemą:

bet mokiniai turėjo pagrįsti kiekvieną žingsnį, remtis atitinkamais teiginiais ir pan. Tai buvo klasikinis formos perteklius prieš turinį. Man dabar lengva kritikuoti. Aš taip pat kažkada buvau šio požiūrio šalininkas. Tai įdomu... jauniems žmonėms, kurie aistringai domisi matematika. Tai, žinoma, buvo (ir, dėmesio dėlei, aš).

Bet užtenka nukrypimo, kimbam prie reikalo: paskaita, kuri „teoriškai“ buvo skirta Politechnikumo antrakursiams ir būtų buvusi sausa kaip kokoso drožlės, jei ne ji. truputi perdedu...

Labas rytas tau. Šios dienos tema – dalinis valymas. Ne, tai nėra neatsargaus valymo užuomina. Geriausias palyginimas būtų apsvarstyti, kas geriau: pomidorų sriuba ar kreminis pyragas. Atsakymas aiškus: priklausomai nuo ko. Desertui – sausainiai, o maistingam patiekalui: sriuba.

Matematikoje mes susiduriame su skaičiais. Jie yra išdėstyti: jie yra didesni ir mažesni, bet iš dviejų skirtingų skaičių vienas visada yra mažesnis, vadinasi, kitas yra didesnis. Jie išdėstyti eilės tvarka, kaip abėcėlės raidės. Klasės žurnale tvarka gali būti tokia: Adamčikas, Baginskaja, Choinitskis, Derkovskis, Elgetas, Filipovas, Gžečnikas, Kholnitskis (jie yra mano klasės draugai ir klasės draugai!). Mes taip pat neabejojame, kad Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. „Dvigubos nelygybės“ simbolis turi reikšmę „prieš“.

Mano kelionių klube stengiamės sąrašus sudaryti abėcėlės tvarka, bet pagal vardą, pavyzdžiui, Alina Wronska „Warbara Kaczarska“, Cesar Bouschitz ir tt Oficialiuose įrašuose tvarka būtų atvirkštinė. Matematikai abėcėlės tvarką vadina leksikografine (leksika daugiau ar mažiau primena žodyną). Kita vertus, tokia tvarka, kai pavadinime, susidedančiame iš dviejų dalių (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) pirmiausia žiūrime į antrąją dalį, matematikams yra antileksikografinis įsakymas. Ilgi pavadinimai, bet labai paprastas turinys.

1. Linijinė tvarka: stotys ir stotelės Habovkos-Zakopanės geležinkelyje nuo Podhalės, pastatyto 1899 m. (santrumpų dekodavimą palieku skaitytojui).

Visi tokie užsakymai vadinami eiliniais užsakymais. Užsakome paeiliui: pirmas, antras, trečias. Viskas tvarkoje, nuo pirmo taško iki paskutinio. Tai ne visada prasminga. Juk knygas bibliotekoje rikiuojame ne taip, o skyriais. Tik skyriaus viduje rikiuojame linijiškai (dažniausiai abėcėlės tvarka).

2. Linijinė tvarka: užvesdami automobilio variklį, veiksmus atliekame nuosekliai.

Su didesniais projektais, ypač komandiniame darbe, nebeturime linijinės tvarkos. Pažiūrėkime pav. 3. Norime statyti nedidelį viešbutį. Mes jau turime pinigų (0 langelis). Surašome leidimus, surenkame medžiagas, pradedame statybas, o tuo pačiu vykdome reklaminę kampaniją, ieškome darbuotojų ir t.t., ir t.t. Kai pasiekiame „10“, pirmieji svečiai gali užsiregistruoti (pavyzdys iš pono Dombrovskio ir jų mažo viešbučio Krokuvos priemiestyje pasakojimų). Mes turime netiesinė tvarka – kai kurie dalykai gali vykti lygiagrečiai.

Ekonomikoje sužinosite apie kritinio kelio sąvoką. Tai yra veiksmų, kuriuos reikia atlikti nuosekliai (o tai matematikoje vadinama grandine, daugiau apie tai akimirksniu), rinkinys, kuriam reikia daugiausiai laiko. Statybų laiko mažinimas yra kritinio kelio pertvarkymas. Bet apie tai plačiau kitose paskaitose (primenu, kad skaitau „universitetinę paskaitą“). Mes sutelkiame dėmesį į matematiką.

Tokios diagramos kaip 3 pav. vadinamos Hasse diagramomis (Helmutas Hasse, vokiečių matematikas, 1898–1979). Visos sudėtingos pastangos turi būti suplanuotos taip. Matome veiksmų sekas: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematikai jas vadina stygomis. Visa idėja susideda iš keturių grandinių. Priešingai, 1-2-3-4, 5-6-7 ir 8-9 aktyvumo grupės yra antigrandinės. Štai kaip jie vadinami. Faktas yra tas, kad tam tikroje grupėje nė vienas veiksmas nepriklauso nuo ankstesnio.

4. Tai taip pat Hasse diagrama.

Eime 4 piešinys. Kas įspūdingo? Bet tai gali būti metro žemėlapis kuriame nors mieste! Požeminiai geležinkeliai visada sugrupuoti į linijas – jie nepereina iš vieno į kitą. Eilutės yra atskiros eilutės. Mieste pav. 4 yra krosnies eilutė (atminkite tai krosnies rašoma „boldem“ – lenkiškai vadinama pusiau stora).

Šioje diagramoje (4 pav.) yra trumpas geltonas ABF, šešių stočių ACFPS, žalias ADGL, mėlynas DGMRT ir ilgiausia raudona. Matematikas pasakys: ši Hasse diagrama turi krosnies grandines. Jis yra ant raudonos linijos septyni stotis: AEINRUW. O kaip antigrandinės? Yra jie septyni. Skaitytojas jau pastebėjo, kad aš du kartus pabraukiau žodį septyni.

Antigrandinė tai toks stočių rinkinys, kad iš vienos jų į kitą patekti be persėdimo neįmanoma. Kai šiek tiek „suprasime“, pamatysime tokias antigrandines: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, SR. Patikrinkite, pavyzdžiui, iš bet kurios BCLTV stoties į kitą BCTLV neįmanoma keliauti be pakeitimo, tiksliau: negrįžus į žemiau nurodytą stotį. Kiek yra antigrandinių? septyni. Kokio dydžio yra didžiausias? Kepti (vėl paryškintu šriftu).

Galite įsivaizduoti, studentai, kad šių skaičių sutapimas nėra atsitiktinis. Tai. Tai atrado ir įrodė (t. y. visada taip) 1950 m. Robertas Palmeris Dilworthas (1914–1993, amerikiečių matematikas). Eilučių, reikalingų visam rinkiniui padengti, skaičius yra lygus didžiausios antigrandinės dydžiui ir atvirkščiai: antigrandinių skaičius lygus ilgiausios antigrandinės ilgiui. Taip visada būna iš dalies užsakytame komplekte, t.y. tokį, kurį galima vizualizuoti. Hassego diagrama. Tai nėra gana griežtas ir teisingas apibrėžimas. Tai matematikai vadina „darbiniu apibrėžimu“. Tai šiek tiek skiriasi nuo „darbinio apibrėžimo“. Tai yra užuomina, kaip suprasti iš dalies užsakytus rinkinius. Tai svarbi bet kurio mokymo dalis: pažiūrėkite, kaip tai veikia.

Anglų santrumpa yra - šis žodis slavų kalbomis skamba gražiai, šiek tiek panašus į usnį. Atkreipkite dėmesį, kad erškėtis taip pat yra šakotas.

Labai gražu, bet kam to reikia? Jums, mieli studentai, to reikia norint išlaikyti egzaminą, ir tai tikriausiai yra pakankamai gera priežastis jį studijuoti. Klausau, kokie klausimai? Klausau, ponas iš po lango. O, kyla klausimas, ar tai kada nors bus naudinga Viešpačiui jūsų gyvenime? Gal ir ne, bet už tave protingesniam tikrai... Gal už kritinio kelio analizę sudėtingame ekonominiame projekte?

Rašau šį tekstą birželio viduryje, Varšuvos universitete vyksta rektoriaus rinkimai. Perskaičiau keletą interneto vartotojų komentarų. Yra stebėtinai daug neapykantos (arba „neapykantos“) „išsilavinusiems žmonėms“. Kažkas tiesiai šviesiai parašė, kad universitetinį išsilavinimą turintys žmonės žino mažiau nei turintys universitetinį išsilavinimą. Žinoma, į diskusiją nesileisiu. Man tik liūdna, kad Lenkijos Liaudies Respublikoje grįžta nusistovėjusi nuomonė, kad viską galima padaryti su plaktuku ir kaltu. Grįžtu prie matematikos.

Dillwortho teorema turi keletą įdomių programų. Vienas iš jų yra žinomas kaip santuokos teorema.pav. 6).

Yra moterų (greičiau merginų) ir kiek didesnė vyrų grupė. Kiekviena mergina galvoja maždaug taip: „Galėčiau ištekėti už tai, už kitą, bet niekada gyvenime už trečio“. Ir taip toliau, kiekvienas turi savo pageidavimus. Nubraižome schemą, kuri veda prie kiekvieno iš jų po rodyklę iš vaikino, kurio jis neatmeta kaip kandidato į altorių. Klausimas: Ar galima suderinti poras, kad kiekviena rastų vyrą, kurį priima?

Filipo Holo teorema, sako, kad tai galima padaryti – esant tam tikroms sąlygoms, kurių čia nekalbėsiu (tada kitoje paskaitoje studentai, prašau). Tačiau atkreipkite dėmesį, kad vyrų pasitenkinimas čia visai neminimas. Kaip žinia, mus renkasi moterys, o ne atvirkščiai, kaip mums atrodo (primenu, kad esu autorė, o ne autorė).

Kažkokia rimta matematika. Kaip Holo teorema išplaukia iš Dilworth? Tai labai paprasta. Dar kartą pažiūrėkime į 6 paveikslą. Grandinės ten yra labai trumpos: jų ilgis yra 2 (eina kryptimi). Mažų žmogeliukų rinkinys yra antigrandinė (būtent todėl, kad strėlės yra tik link). Taigi, visą kolekciją galite padengti tiek anti-grandžių, kiek yra vyrų. Taigi kiekviena moteris turės strėlę. Ir tai reiškia, kad ji gali atrodyti kaip vaikinas, kurį priima!!!

Palaukite, kažkas klausia, ar tai viskas? Ar visa tai programa? Hormonai kažkaip susitvarkys ir kodėl matematika? Pirma, tai ne visa programa, o tik viena iš didelės serijos. Pažvelkime į vieną iš jų. Tegu (6 pav.) reiškia ne geresnės lyties atstovus, o proziškus pirkėjus, o tai prekės ženklai, pavyzdžiui, automobiliai, skalbimo mašinos, lieknėjimo produktai, kelionių agentūrų pasiūlymai ir tt Kiekvienas pirkėjas turi prekių ženklų, kuriuos jis priima ir atmeta. Ar galima ką nors padaryti, kad ką nors parduotų visiems ir kaip? Čia baigiasi ne tik juokeliai, bet ir straipsnio autoriaus žinios šia tema. Žinau tik tiek, kad analizė pagrįsta gana sudėtinga matematika.

Matematikos mokymas mokykloje yra algoritmų mokymas. Tai svarbi mokymosi dalis. Tačiau pamažu judame link ne tiek matematikos, kiek matematinio metodo mokymosi. Šios dienos paskaita buvo kaip tik apie tai: kalbame apie abstrakčias mentalines konstrukcijas, galvojame apie kasdienybę. Mes kalbame apie grandines ir antigrandines rinkiniuose su atvirkštiniais, tranzityviniais ir kitais santykiais, kuriuos naudojame pardavėjo-pirkėjo modeliuose. Kompiuteris visus skaičiavimus atliks už mus. Jis matematinių modelių kol kas nekurs. Mes vis tiek laimime savo mąstymu. Bet kokiu atveju, tikiuosi kuo ilgiau!