Kodėl nepadalijame iš nulio?

Skaitytojams gali kilti klausimas, kodėl tokiai banaliai problemai skiriu visą straipsnį? Priežastis – stulbinantis skaičius studentų (!), atsitiktinai atliekančių operaciją vardu. Ir ne tik studentai. Kartais gaunu ir mokytojai. Ką tokių mokytojų mokiniai sugebės iš matematikos? Tiesioginė priežastis parašyti šį tekstą buvo pokalbis su mokytoja, kuriai dalyba iš nulio nebuvo problema ...

Su nuliu, taip, išskyrus vargą dėl nieko, nes mums tikrai nereikia to naudoti kasdieniame gyvenime. Mes neiname apsipirkti dėl nulio kiaušinių. „Patalpoje yra vienas žmogus“ skamba kažkaip natūraliai, o „nulis žmonių“ – dirbtinai. Kalbininkai teigia, kad nulis yra už kalbos sistemos ribų.

Banko sąskaitose taip pat galime apsieiti be nulio: tiesiog naudokite - kaip ant termometro - raudoną ir mėlyną teigiamoms ir neigiamoms reikšmėms (atminkite, kad temperatūrai natūralu naudoti raudoną teigiamiems skaičiams, o banko sąskaitoms tai. yra atvirkščiai, nes debetas turėtų suaktyvinti įspėjimą, todėl labai rekomenduojama raudona spalva).

Įtraukdami nulį kaip natūraliąjį skaičių, paliečiame diferenciacijos problemą kiekiniai skaičiai od namų ūkis. Per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ...

skaičiaus galia yra tokia pati kaip ir vietos, kurioje jis stovi, skaičius. Kitu atveju jis jau yra sekoje 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ....

Antroje vietoje yra pavienių rinkinių skaičius, trečias - rinkinių su dviem elementais skaičius ir pan. Tenka aiškintis, kodėl, pavyzdžiui, sportininkų vietų varžybose neskaičiuojame nuo nulio. Tada pirmosios vietos laimėtojas gautų sidabro medalį (auksas atiteko nulinės vietos laimėtojui) ir panašiai. Šiek tiek panaši procedūra buvo taikoma ir futbole – nežinau, ar Skaitytojai žino, kad „league one“ reiškia „ sekti geriausius“. “, o nulinė lyga vadinama „pagrindine lyga“.

Kartais išgirstame argumentą, kad reikia pradėti nuo nulio, nes IT žmonėms taip patogu. Tęsiant šiuos svarstymus, kilometro apibrėžimas turėtų būti pakeistas - jis turėtų būti 1024 m, nes tai yra baitų skaičius kilobaite (remiuosi informatikai žinomu pokštu: „Kuo skiriasi pirmakursis nuo informatikos studentas ir šio fakulteto penkto kurso studentas? kad kilobaitas yra 1000 kilobaitų, paskutinis - kad kilometras yra 1024 metrai")!

Kitas požiūris, į kurį jau reikėtų žiūrėti rimtai, yra toks: mes visada matuojame nuo nulio! Užtenka pažvelgti į bet kokias svarstykles ant liniuotės, ant buitinių svarstyklių, kad ir į laikrodį. Kadangi mes matuojame nuo nulio, o skaičiavimas gali būti suprantamas kaip matavimas su bematiniu vienetu, tai turėtume skaičiuoti nuo nulio.

Tai paprastas dalykas, bet...

Palikime bendruosius samprotavimus ir grįžkime prie dalybos iš nulio. Reikalas paprastas ir būtų paprastas, jei ne... ir kas? Pagalvokime ir pabandykime. Kiek tai gali būti – vienas padalintas iš nulio? Pažiūrėkime: 1/0 = x. Abi puses padauginkite iš kairės pusės vardiklio.

Gauname 1=0. Kažkas yra negerai! Kas nutiko? Ak spėk! Prielaida, kad yra vienybės ir nulio koeficientas, veda į prieštaravimą. Ir jei vieno negalima padalyti iš nulio, tada galima padalyti kitą skaičių. Jei, Skaitytojau, gūžčioji pečiais ir stebiesi, kodėl autorius (tai yra aš) rašo apie tokias banalybes, tai... labai džiaugiuosi!

Formulė 0/0 = 0 galėtų būti ginama atkakliai, tačiau ji prieštarauja taisyklei, kad skaičiaus dalijimo iš savęs rezultatas yra lygus vienetui. Visiškai, bet gana skirtingi yra tokie simboliai kaip 0/0, °/° ir panašiai skaičiuojant. Jie nereiškia bet kokio skaičiaus, bet yra simboliniai tam tikrų tam tikrų tipų sekų žymėjimai.

Elektrotechnikos knygoje radau įdomų palyginimą: dalinti iš nulio taip pat pavojinga kaip ir aukštos įtampos elektra. Tai normalu: Omo dėsnis teigia, kad įtampos ir varžos santykis lygus srovei: V = U / R. Jei varža būtų lygi nuliui, laidininku teoriškai tekėtų begalinė srovė, sudegindama visus įmanomus laidininkus.

Kartą parašiau eilėraštį apie pavojus, kylančius dalinant iš nulio kiekvienai savaitės dienai. Pamenu, dramatiškiausia diena buvo ketvirtadienis, bet gaila visų mano darbų šioje srityje.

Kai ką nors padalini iš nulio

Labai ankstyvas pirmadienis

Savaitė, kas ką tik atsitiko

Tau jau labai nepasisekė.

Kai antradienio popietę

Į vardiklį įdedate nulį

Tada aš tau pasakysiu, tu klysti

Blogas matematikas!

Kai per nulį, per iškrypimą,

Nori išsiskirti trečiadienį

Patirsite daug bėdų

Jūsų galvoje šienas ir vanduo!

Tam tikras Bartekas buvo su mumis.

Jis prieštaravo taisyklėms.

Ketvirtadienį jis dalijasi iš nulio.

Jo nebėra tarp mūsų!

Jeigu tave užvaldo keistas noras

Penktadienį padalinkite iš nulio

Būsiu sąžiningas, būsiu sąžiningas:

Bloga šio savaitgalio pradžia.

Kai nulis, kažkur šeštadienį

Skirstytuvas bus jūsų (ne paryškintas)

Atsiklaupk po bažnyčios tvora.

Tai tavo prisikėlimas.

Ar norite nulio po brūkšniu,

Sekmadienį padarykite atostogas

Atsineškite kreidą, juodą lentą.

Parašykite: jis nesidalija iš nulio!

Nulis asocijuojasi su tuštuma ir niekuo. Iš tiesų, jis atėjo į matematiką kaip dydį, kuris, pridėjus prie bet kurio, jo nekeičia: x + 0 = x. Tačiau dabar nulis rodomas keliose kitose reikšmėse, ypač kaip masto pradžia. Jei už lango nėra nei teigiamos temperatūros, nei šalčio, tai ... tai yra nulis, o tai nereiškia, kad nėra temperatūros. Nulinės klasės paminklas nėra tas, kuris jau seniai griaunamas ir tiesiog neegzistuoja. Priešingai, tai kažkas panašaus į Vavelį, Eifelio bokštą ir Laisvės statulą.

Na, vargu ar galima pervertinti nulio svarbą pozicinėje sistemoje. Ar žinai, skaitytojau, kiek nulių turi Billas Gatesas savo banko sąskaitoje? Nežinau, bet norėčiau pusės. Matyt, Napoleonas Bonapartas pastebėjo, kad žmonės yra kaip nuliai: prasmę įgyja per poziciją. Andrzejaus Wajdos filme „As the Years, As the Days Pass“ aistringas menininkas Jerzy sprogdina: „Philisteris yra nulis, nihilas, nieko, nieko, nihil, nulis“. Bet nulis gali būti gerai: „nulinis nukrypimas nuo normos“ reiškia, kad viskas klostosi gerai, ir taip toliau!

Grįžkime prie matematikos. Nulį galima nebaudžiamai pridėti, atimti ir dauginti. „Aš priaugau nulį kilogramų“, - sako Manya Anyai. „Ir tai įdomu, nes numečiau tiek pat svorio“, - atsako Anya. Taigi šešis kartus suvalgykime šešias nulines porcijas ledų, mums tai nepakenks.

Negalime dalyti iš nulio, bet galime padalyti iš nulio. Lėkštę su nuliniais koldūnais galima nesunkiai išdalinti laukiantiems maisto. Kiek kiekvienas gaus?

Nulis nėra teigiamas ar neigiamas. Tai ir skaičius ne teigiamasи neneigiamas. Jis tenkina nelygybes x≥0 ir x≤0. Prieštaravimas „kažkas teigiamo“ yra ne „kažkas neigiamas“, o „kažkas neigiamas arba lygus nuliui“. Matematikai, priešingai kalbos taisyklėms, visada sakys, kad kažkas yra „lygus nuliui“, o ne „nulis“. Norėdami pateisinti šią praktiką, turime: jei skaitome formulę x = 0 "x yra lygus nuliui", tada x = 1 skaitome "x yra lygus vienetui", kurį galima praryti, bet kaip su "x = 1534267" ? Taip pat simboliui 0 negalite priskirti skaitinės reikšmės⁰nei pakelti nulį į neigiamą laipsnį. Kita vertus, jūs galite savo nuožiūra įsišaknyti nulį... ir rezultatas visada bus nulis. 

Eksponentinė funkcija y = a^x, teigiama a bazė niekada netampa nuliu. Iš to išplaukia, kad nulinio logaritmo nėra. Iš tiesų, a logaritmas į bazę b yra eksponentas, iki kurio bazė turi būti padidinta, kad būtų gautas a logaritmas. Jei a = 0, tokio rodiklio nėra, o nulis negali būti logaritmo pagrindas. Tačiau nulis Niutono simbolio „vardiklyje“ yra kas kita. Manome, kad šios sutartys nesukelia prieštaravimų.

melagingi įrodymai

Dalyba iš nulio yra įprastas klaidingų įrodymų dalykas, taip nutinka net patyrusiems matematikams. Leiskite pateikti du mano mėgstamiausius pavyzdžius. Pirmasis yra algebrinis. „Įrodysiu“, kad visi skaičiai yra lygūs. Tarkime, kad yra du skaičiai, kurie nėra lygūs. Todėl vienas iš jų didesnis už kitą, tegul a > b. Tarkime, kad c yra jų skirtumas

c \uXNUMXd a - b. Taigi turime a - b = c, iš kur a = b + c.

Abi pastarosios dalis padauginame iš a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Verčiu ak į kairę pusę, žinoma, prisimenu apie ženklo keitimą:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Neatmetu bendrų veiksnių:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Dalinuosi ir turiu tai, ko norėjau:

a = b.

Ir iš tikrųjų dar keisčiau, nes maniau, kad a > b, ir gavau, kad a = b. Jei aukščiau esančiame pavyzdyje "sukčiavimą" lengva atpažinti, tai žemiau esančiame geometriniame įrodyme tai nėra taip paprasta. Įrodysiu, kad... trapecijos nėra. Figūra, paprastai vadinama trapecija, neegzistuoja.

Bet pirmiausia tarkime, kad yra toks dalykas kaip trapecija (ABCD paveikslėlyje žemiau). Jis turi dvi lygiagrečias puses („pagrindas“). Ištempkime šiuos pagrindus, kaip parodyta paveikslėlyje, kad gautume lygiagretainį. Jos įstrižainės padalija kitą trapecijos įstrižainę į atkarpas, kurių ilgiai žymimi x, y, z, kaip 1 piešinys. Iš atitinkamų trikampių panašumo gauname proporcijas:

kur mes apibrėžiame:

Orazas

kur mes apibrėžiame:

Atimkite žvaigždutėmis pažymėtas lygybės puses:

 Sutrumpinę abi puses x − z, gauname – a/b = 1, vadinasi, a + b = 0. Bet skaičiai a, b yra trapecijos pagrindų ilgiai. Jei jų suma lygi nuliui, tai jie taip pat lygūs nuliui. Tai reiškia, kad tokia figūra kaip trapecija negali egzistuoti! Ir kadangi stačiakampiai, rombai ir kvadratai taip pat yra trapecijos, tai, mielas Skaitytojau, nėra ir rombų, stačiakampių ir kvadratų ...

Atspėk Atspėk

Dalijimasis informacija yra pati įdomiausia ir sudėtingiausia iš keturių pagrindinių veiklų. Čia pirmą kartą susiduriame su tokiu dažnu reiškiniu suaugusiesiems: „atspėk atsakymą, o tada patikrink, ar atspėjai teisingai“. Tai labai taikliai išreiškė Danielis K. Dennettas („Kaip padaryti klaidų?“, knygoje „How It Is – A Scientific Guide to the Universe“, CiS, Varšuva, 1997):

Toks „spėjimo“ metodas netrukdo mūsų suaugusiųjų gyvenimui – galbūt todėl, kad to išmokstame anksti ir atspėti nėra sunku. Ideologiškai tas pats reiškinys pasireiškia, pavyzdžiui, matematinė (visiška) indukcija. Toje pačioje vietoje „atspėjame“ formulę ir patikriname, ar mūsų spėjimas teisingas. Studentai visada klausia: „Kaip mes sužinojome apie modelį? Kaip jį galima išimti?" Kai studentai man užduoda šį klausimą, aš jų klausimą paverčiau pokštu: „Žinau tai, nes esu profesionalas, nes man moka už tai, kad žinočiau“. Mokiniams mokykloje galima atsakyti tuo pačiu stiliumi, tik rimčiau.

Pratimas. Atkreipkite dėmesį, kad sudėjimą ir rašytinį daugybą pradedame nuo mažiausio vieneto, o dalinimą – nuo ​​didžiausio.

Dviejų idėjų derinys

Matematikos mokytojai visada pabrėžė, kad tai, ką vadiname suaugusiųjų atskyrimu, yra dviejų konceptualiai skirtingų idėjų sąjunga: Корпус i atskyrimas.

Pirmasis (Корпус) atsiranda atliekant užduotis, kurių archetipas yra:

Skaldyk-skaldyk Tai tokios užduotys kaip:

? (Išlaikome pirminį šios problemos stilių, paimtą iš Juliano Zgozalevičiaus vadovo, išleisto Krokuvoje 1892 m. – zlotas yra Reino zlotas, valiuta, kuri Austrijos-Vengrijos imperijoje buvo apyvarta iki XNUMX amžiaus pradžios).

Dabar apsvarstykite dvi problemas seniausias matematikos vadovėlis lenkų kalba, tėvas Tomaszas Closas (1538). Ar tai padalinys ar kupė? Išspręskite tai taip, kaip turėtų XNUMX amžiaus moksleiviai:

(vertimas iš lenkų į lenkų kalbą: statinėje yra kvortas ir keturi puodai. Puodas yra keturi litrai. Kažkas pirko 20 statinių vyno už 50 Lt prekybai. Muitas ir mokestis (akcizas?) bus 8 Lt. Kiek parduoti kvortą, kad uždirbtumėte 8 Lt?)

Sportas, fizika, kongruence

Kartais sporte tenka ką nors padalyti iš nulio (įvarčių santykis). Na, teisėjai kažkaip su tuo susitvarko. Tačiau abstrakčioje algebroje jie yra darbotvarkėje. nenulinius kiekiuskurio kvadratas lygus nuliui. Tai netgi galima paaiškinti paprastai.

Apsvarstykite funkciją F, kuri susieja tašką (y, 0) su tašku plokštumoje (x, y). Kas yra F², tai yra dvigubas F vykdymas? Nulinė funkcija – kiekvienas taškas turi vaizdą (0,0).

Galiausiai, nuliniai dydžiai, kurių kvadratas lygus 0, yra beveik kasdienė fizikų duona ir a + bε formos skaičiai, kur ε ≠ 0, bet ε² = 0, skambina matematikai dvigubi skaičiai. Jie atsiranda atliekant matematinę analizę ir diferencialinę geometriją.

Juk aritmetikoje yra kažkas, kas bent pavadinime dalijasi iš nulio. Jis ateina iš sutapimas. Tegu Z žymi sveikųjų skaičių aibę. Aibės Z dalijimas iš p reiškia, kad kiekvieną skaičių (sveikąjį skaičių) prilyginsime kai kuriems kitiems, būtent tiems, iš kurių jų skirtumas dalijasi. Taigi, kai turime penkių tipų skaičius, atitinkančius skaičius 0, 1, 2, 3, 4 – galimos liekanos, padalytos iš 5. Formulė parašyta taip:

mod, kai skirtumas yra kartotinis.

Jei = 2, turime tik du skaičius: 0 ir 1. Sveikųjų skaičių padalijimas į dvi tokias klases prilygsta jų padalijimui į lyginius ir nelyginius. Pakeiskime jį dabar. Skirtumas visada dalijasi iš 1 (bet koks sveikasis skaičius dalijasi iš 1). Ar galima imti =0? Pabandykime: kada dviejų skaičių skirtumas yra nulio kartotinis? Tik tada, kai šie du skaičiai yra lygūs. Taigi sveikųjų skaičių aibę padalinti iš nulio yra prasminga, bet tai neįdomu: nieko neįvyksta. Tačiau reikia pabrėžti, kad tai nėra skaičių skirstymas ta prasme, kuri žinoma iš pradinės mokyklos.

Tokie veiksmai tiesiog draudžiami, kaip ir ilga ir plati matematika.

Ryžiai. 2. Skaičių identifikavimas naudojant palyginimą

(5 režimas ir 2 režimas)