Kelionė į nerealų matematikos pasaulį

Šį straipsnį parašiau trečiadienį, po paskaitos ir praktikos kompiuterių mokslų kolegijoje. Ginuosi nuo kritikos šios mokyklos mokiniams, jų žinioms, požiūriui į mokslą, o svarbiausia: mokymo įgūdžiams. Tai... niekas jų nemoko.

Kodėl aš taip ginuosi? Dėl paprastos priežasties – esu tokio amžiaus, kai, ko gero, mane supantis pasaulis dar nesuvokiamas. Gal aš moku juos pakinkyti ir atrišti arklius, o ne vairuoti automobilį? Gal aš išmokysiu juos rašyti plunksnakočiu? Nors esu geresnės nuomonės apie žmogų, tikiu, kad „seku“, bet...

Dar visai neseniai vidurinėje mokykloje buvo kalbama apie kompleksinius skaičius. Ir būtent šį trečiadienį grįžau namo, išėjau – beveik nė vienas mokinys dar nebuvo išmokęs, kas tai yra ir kaip naudotis šiais skaičiais. Kai kurie žmonės į visą matematiką žiūri kaip į žąsį į nudažytas duris. Bet aš taip pat nuoširdžiai nustebau, kai man pasakė, kaip reikia mokytis. Paprasčiau tariant, kiekviena paskaitos valanda yra dviejų valandų mokymasis namuose: vadovėlio skaitymas, pirminiai mokymai spręsti tam tikra tema susijusias problemas ir pan. Taip pasiruošę ateiname į pratybas, kuriose viską tobuliname... Malonu, kad studentai, matyt, pagalvojo, kad sėdėjimas paskaitoje – dažniausiai žiūrint pro langą – jau garantuoja, kad žinios įsis į galvą.

Sustabdyti! Užteks šito. Aprašysiu savo atsakymą į klausimą, kurį gavau per pamoką su bendradarbiais iš Nacionalinio vaikų fondo – įstaigos, remiančios talentingus vaikus iš visos šalies. Klausimas (tiksliau pasiūlymas) buvo toks:

– Ar galėtumėte ką nors papasakoti apie nerealius skaičius?

- Žinoma, - atsakiau. 

Skaičių realybė

„Draugas yra kitas aš, draugystė yra skaičių 220 ir 284 santykis“, - sakė Pitagoras. Esmė ta, kad skaičiaus 220 daliklių suma yra 284, o skaičiaus 284 daliklių suma yra 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 XNUMX

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Kitas įdomus skaičių 220 ir 284 sutapimas yra toks: septyniolika didžiausių pirminių skaičių yra 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ir 59.

Jų suma yra 2x220, o kvadratų suma yra 59x284.

Pirmas. Nėra „tikrojo skaičiaus“ sąvokos. Panašu, kad perskaitęs straipsnį apie dramblius paklausi: „Dabar mes prašysime ne dramblių“. Yra sveikų ir nepilnų, racionalių ir neracionalių, bet nėra nerealių. Tiksliau: skaičiai, kurie nėra tikri, nėra vadinami negaliojančiais. Matematikoje yra daugybė „skaičių“ tipų ir jie skiriasi vienas nuo kito, pavyzdžiui – zoologiniu palyginimu – dramblys ir sliekas.

Antra, atliksime operacijas, apie kurias jau žinote, kad jos yra draudžiamos: paimti neigiamų skaičių kvadratines šaknis. Na, o matematika tokius barjerus įveiks. Vis dėlto ar tai prasminga? Matematikoje, kaip ir bet kuriame kitame moksle: ar teorija amžinai pateks į žinių saugyklą, priklauso... nuo jos taikymo. Jei tai nenaudinga, tada atsiduria šiukšliadėžėje, o tada į kokią nors šiukšlę žinių istorijoje. Be skaičių, apie kuriuos kalbu šio straipsnio pabaigoje, neįmanoma išvystyti matematikos. Bet pradėkime nuo mažų dalykų. Jūs žinote, kas yra tikrieji skaičiai. Jie užpildo skaičių eilutę sandariai ir be tarpų. Taip pat žinote, kas yra natūralūs skaičiai: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. – visi jie netilps. atmintis net ir didžiausia. Jie taip pat turi gražų pavadinimą: natūralus. Jie turi daug įdomių savybių. Kaip jums tai:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

„Natūralu domėtis natūraliaisiais skaičiais“, – sakė Karlas Lindenholmas, o Leopoldas Kroneckeris (1823–1891) glaustai pasakė: „Dievas sukūrė natūraliuosius skaičius – visa kita yra žmogaus darbas! Trupmenos (matematikai vadinamos racionaliais skaičiais) taip pat turi nuostabių savybių:

ir lygybei:

galite, pradedant nuo kairės pusės, trinti pliusus ir pakeisti juos daugybos ženklais - ir lygybė išliks tiesa:

Ir taip toliau.

Kaip žinote, trupmenoms a / b, kur a ir b yra sveikieji skaičiai, o b ≠ 0, sakoma racionalus skaičius. Bet tik lenkiškai jie taip save vadina. Jie kalba angliškai, prancūziškai, vokiškai ir rusiškai. racionalus skaičius. Anglų kalba: racionalūs skaičiai. Neracionalūs skaičiai tai neracionalu, neracionalu. Lenkiškai kalbame ir apie neracionalias teorijas, idėjas ir poelgius – tai beprotybė, įsivaizduojama, nepaaiškinama. Sako, kad moterys bijo pelių – argi ne taip neracionalu?

Senovėje skaičiai turėjo sielą. Kiekvienas kažką reiškė, kiekvienas kažką simbolizavo, kiekvienas atspindėjo dalelę tos Visatos harmonijos, tai yra graikiškai Kosmoso. Pats žodis „kosmosas“ tiksliai reiškia „tvarka, tvarka“. Svarbiausi buvo šeši (tobulas skaičius) ir dešimt – iš eilės einančių skaičių 1+2+3+4 suma, sudaryta iš kitų skaičių, kurių simbolika išliko iki šių dienų. Taigi Pitagoras mokė, kad skaičiai yra visko pradžia ir šaltinis, ir tik atradimas neracionalūs skaičiai pitagoriečių judėjimą pasuko geometrijos link. Iš mokyklos žinome tą motyvą

√2 yra neracionalus skaičius

Tarkime, kad yra: ir kad ši trupmena negali būti sumažinta. Visų pirma, tiek p, tiek q yra nelyginiai. Padėkime kvadratu: 2q²=p². Skaičius p negali būti nelyginis, nuo tada p² taip pat būtų, o kairioji lygybės pusė yra 2 kartotinis. Vadinasi, p yra lyginis, t.y. p = 2r, taigi p²= 4r². Sumažiname lygtį 2q²= 4r² 2. Gauname q²= 2r² ir matome, kad q taip pat turi būti lyginis, o mes manėme, kad taip nebuvo. Atsiradęs prieštaravimas užbaigia įrodymą – šią formulę dažnai galima rasti kiekvienoje matematikos knygoje. Šis netiesioginis įrodymas yra mėgstamiausia sofistų technika.

Pitagoriečiai negalėjo suprasti šios beribės. Viską turi būti galima apibūdinti skaičiais, o kvadrato įstrižainė, kurią bet kas gali nubrėžti pagaliuku per smėlį, neturi ilgio, tai yra išmatuojamo. „Mūsų tikėjimas buvo bergždžias“, – atrodo, sako pitagoriečiai. Kaip tai? Tai kažkaip... neracionalu. Sąjunga bandė gelbėtis sektantiškais metodais. Kiekvienas, kuris išdrįsta atskleisti savo egzistavimą neracionalūs skaičiai, turėjo būti nubaustas mirtimi, ir, matyt, pirmąjį nuosprendį įvykdė pats meistras.

Tačiau „mintis praėjo nepažeista“. Atėjo aukso amžius. Graikai nugalėjo persus (Maratonas 490, blokas 479). Sustiprėjo demokratija, atsirado naujų filosofinės minties centrų, naujų mokyklų. Pitagoriečiai vis dar kovojo su neracionaliais skaičiais. Kai kurie pamokslavo: mes nesuvoksime šios paslapties; galime tik tai apmąstyti ir grožėtis Uncharted. Pastarieji buvo pragmatiškesni ir negerbė paslapties. Tuo metu atsirado dvi mentalinės konstrukcijos, kurios leido suprasti neracionalius skaičius. Tai, kad šiandien mes juos pakankamai gerai suprantame, priklauso Eudoksui (XNUMX a. pr. Kr.), ir tik XIX amžiaus pabaigoje vokiečių matematikas Richardas Dedekindas suteikė Eudokso teorijai tinkamą plėtrą pagal griežtus reikalavimus. matematinė logika.

Figūrų masė arba kankinimai

Ar galėtum gyventi be skaičių? Net jei, koks tai būtų gyvenimas... Reikėtų nueiti į parduotuvę nusipirkti batų su pagaliuku, su kuriuo anksčiau matavomės pėdos ilgį. „Norėčiau obuolių, štai! – turguje parodytume pardavėjus. Koks atstumas yra nuo Modlino iki Nowy Dwór Mazowiecki? "Gana arti!"

Matavimui naudojami skaičiai. Jas naudojame ir daugeliui kitų sąvokų išreikšti. Pavyzdžiui, žemėlapio mastelis rodo, kiek sumažėjo šalies plotas. Skalė du su vienu arba tiesiog 2 išreiškia faktą, kad kažkas buvo padvigubinta. Sakykime matematiškai: kiekvienas homogeniškumas atitinka skaičių – jo skalę.

Užduotis. Padarėme kserografinę kopiją, kelis kartus padidinome vaizdą. Tada padidintas fragmentas vėl buvo padidintas b kartų. Kokia yra bendra didinimo skalė? Atsakymas: a × b padaugintas iš b. Šias svarstykles reikia padauginti. Skaičius „minus vienas“ –1 atitinka vieną tikslumą, kuris yra centre, ty pasuktas 180 laipsnių kampu. Koks skaičius atitinka 90 laipsnių posūkį? Tokio skaičiaus nėra. Tai yra, tai yra… tiksliau, tai bus greitai. Ar esate pasirengęs moraliniams kankinimams? Būkite drąsūs ir paimkite kvadratinę šaknį iš minus vieno. as klausau? Ko tu negali? Juk sakiau, kad būk drąsus. Ištrauk! Ei, gerai, trauk, trauk... Padėsiu... Čia: -1 Dabar, kai turime, pabandykime panaudoti... Žinoma, dabar galime ištraukti visų neigiamų skaičių šaknis, pavyzdys.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

- „Nepriklausomai nuo su tuo susijusių psichinių kančių“. Taip rašė Girolamo Cardano 1539 m., bandydamas įveikti psichikos sunkumus, susijusius su – kaip netrukus imta vadinti – įsivaizduojami kiekiai. Jis laikė šiuos...

...Užduotis. Padalinkite 10 į dvi dalis, kurių sandauga lygi 40. Prisimenu, iš ankstesnio epizodo jis rašė maždaug taip: Akivaizdu, kad neįmanoma. Tačiau darykime taip: 10 padalinkime į dvi lygias dalis, kurių kiekviena lygi 5. Padauginkime jas – gausime 25. Iš gautų 25 dabar atimkite 40, jei norite, ir gausime -15. Dabar pažiūrėkite: √-15 pridėjus ir atėmus iš 5, gausite sandaugą iš 40. Tie skaičiai yra 5-√-15 ir 5 + √-15. Rezultatą Cardano patikrino taip:

„Nepriklausomai nuo su tuo susijusių psichinių kančių, 5 + √-15 padauginkite iš 5-√-15. Gauname 25 – (-15), tai lygu 25 + 15. Taigi sandauga yra 40…. Tai tikrai sunku“.

Na, kiek yra: (1 + √-1) (1-√-1)? Padauginkime. Atminkite, kad √-1 × √-1 = -1. Puiku. Dabar sunkesnė užduotis: nuo a + b√-1 iki ab√-1. Kas nutiko? Žinoma, taip: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Kas čia įdomaus? Pavyzdžiui, tai, kad galime suskaidyti posakius, kurių „anksčiau nežinojome“. Sutrumpinta daugybos formulė²-b² Ar prisimeni formulę²+b² to nebuvo, nes negalėjo būti. Realiųjų skaičių srityje daugianario²+b² tai neišvengiama. Pažymėkime „mūsų“ kvadratinę šaknį iš „minus vienas“ raide i.²= -1. Tai „nerealus“ pirminis skaičius. Ir tai apibūdina lėktuvo apsisukimą 90 laipsnių kampu. Kodėl? Po visko,²= -1, o vieną 90 laipsnių pasukimą sujungus su kitu panašiu pasukimu gaunamas 180 laipsnių pasukimas. Koks sukimosi tipas aprašomas? Tai aišku - 45 laipsnių posūkis. Ką reiškia skaičius -i? Tai šiek tiek sudėtingiau:

(-aš)² = -i × (-i) = +i² = -1

Taigi -i taip pat apibūdina 90 laipsnių sukimąsi, tik priešinga i sukimosi kryptimi. Kuris kairysis, o kuris dešinysis? Turite susitarti dėl susitikimo. Darome prielaidą, kad skaičius i nurodo sukimąsi ta kryptimi, kurią matematikai laiko teigiama: prieš laikrodžio rodyklę. Skaičius -i apibūdina sukimąsi ta kryptimi, kuria juda rodyklės.

Bet ar tokie skaičiai kaip i ir -i egzistuoja? Yra! Mes tiesiog prikėlėme juos į gyvenimą. as klausau? Kad jie egzistuoja tik mūsų galvose? Nu ko tikėtis? Visi kiti skaičiai taip pat egzistuoja tik mūsų galvoje. Turime pamatyti, ar mūsų naujagimių skaičius išgyvena. Tiksliau, ar dizainas logiškas ir ar jie bus kažkam naudingi. Prašau mano žodžio, kad viskas tvarkoje ir kad šie nauji numeriai tikrai naudingi. Skaičiai, tokie kaip 3+i, 5-7i, apskritai: a+bi vadinami kompleksiniais skaičiais. Parodžiau, kaip jų galima gauti sukant lėktuvą. Juos galima įvesti įvairiai: kaip plokštumos taškai, kaip kai kurie daugianariai, kaip kažkokios skaitinės matricos... ir kiekvieną kartą jie yra vienodi: lygtis x² +1=0 elemento nera... hocus pocus jau yra!!!! Džiaukimės ir džiaukimės!!!

Ekskursijos pabaiga

Tuo mūsų pirmoji kelionė po netikrų numerių šalį baigiasi. Iš kitų nežemiškų skaičių paminėsiu ir tuos, kurie turi begalinį skaičių skaitmenų priekyje, o ne už nugaros (jie vadinami 10-adic, mums svarbesni p-adic, kur p yra pirminis skaičius), nes pavyzdys X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Suskaičiuokime X, prašau². Kaip? Ką daryti, jei apskaičiuosime skaičiaus kvadratą, po kurio eina begalinis skaičius skaitmenų? Na, darykime tą patį. Mes žinome, kad x² = X.

Raskime kitą tokį skaičių su begaliniu skaičiumi skaitmenų priekyje, kuris tenkina lygtį. Užuomina: skaičiaus, kuris baigiasi šešiais, kvadratas taip pat baigiasi šešiais. Skaičiaus, kuris baigiasi skaičiumi 76, kvadratas taip pat baigiasi skaičiumi 76. Skaičiaus, kuris baigiasi skaičiumi 376, kvadratas taip pat baigiasi skaičiumi 376. Skaičiaus, kuris baigiasi skaičiumi 9376, kvadratas taip pat baigiasi 9376. Skaičiaus, kuris baigiasi skaičiumi, kvadratas XNUMX ant… Taip pat yra skaičių, kurie yra tokie maži, kad, būdami teigiami, jie išlieka mažesni už bet kurį kitą teigiamą skaičių. Jie tokie maži, kad kartais užtenka juos padalyti kvadratu, kad gautume nulį. Yra skaičių, kurie netenkina sąlygos a × b = b × a. Taip pat yra begaliniai skaičiai. Kiek yra natūraliųjų skaičių? Be galo daug? Taip, bet kiek? Kaip tai galima išreikšti skaičiumi? Atsakymas: mažiausias iš begalinių skaičių; jis pažymėtas gražia raide: A ir papildytas nuliniu indeksu A₀ , aleph-nulis.

Taip pat yra skaičių, kurių mes nežinome... arba kuriais galite tikėti arba netikėti, kaip norite. O kalbant apie panašius dalykus: tikiuosi, kad jums vis dar patinka Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.