Šifrai ir šnipai

Šiandienos matematikos kampelyje pažvelgsiu į temą, kurią aptariau Nacionalinio vaikų fondo kasmetinėje mokslo stovykloje vaikams. Fondas ieško mokslinių interesų turinčių vaikų ir jaunimo. Jūs neprivalote būti itin gabus, bet reikia turėti „mokslinį polėkį“. Labai geri mokyklos pažymiai nereikalingi. Išbandykite, gal patiks. Jei esate pradinės mokyklos ar vidurinės mokyklos mokinys, kreipkitės. Paprastai ataskaitas rengia tėvai arba mokykla, tačiau taip būna ne visada. Raskite fondo svetainę ir sužinokite.

Mokykloje vis dažniau kalbama apie „kodavimą“, turint omenyje veiklą, anksčiau vadintą „programavimu“. Tai įprasta teorinių pedagogų procedūra. Jie atkasa senus metodus, suteikia jiems naują pavadinimą ir „pažanga“ vyksta savaime. Yra keletas sričių, kuriose vyksta toks cikliškas reiškinys.

Galima daryti išvadą, kad didaktiką nuvertinu. Nr. Besivystant civilizacijai, kartais grįžtame prie to, kas buvo, buvo apleista ir dabar atgimsta. Bet mūsų kampelis yra matematinis, o ne filosofinis.

Priklausymas tam tikrai bendruomenei taip pat reiškia „bendruosius simbolius“, bendrus skaitinius, posakius ir palyginimus. Tas, kuris puikiai išmoko lenkų kalbą „Ščebžešyne didelis krūmynas, nendrynuose dūzgia vabalas“, iš karto bus demaskuotas kaip svetimos valstybės šnipas, jei neatsakys į klausimą, ką veikia genys. Žinoma, kad jis dūsta!

Tai ne tik pokštas. 1944 m. gruodį vokiečiai pradėjo savo paskutinį puolimą Ardėnuose už dideles išlaidas. Jie mobilizavo karius, kurie laisvai kalbėjo angliškai, kad sutrikdytų sąjungininkų kariuomenės judėjimą, pavyzdžiui, kryžkelėje nukreiptų juos neteisinga kryptimi. Po nuostabos akimirkos amerikiečiai kariams ėmė uždavinėti įtartinus klausimus, į kuriuos atsakymas būtų akivaizdus žmogui iš Teksaso, Nebraskos ar Džordžijos, o nesuvokiamas tam, kas ten neužaugo. Realybės nežinojimas tiesiogiai paskatino egzekuciją.

Iki taško. Skaitytojams rekomenduoju Lukasz Badowski ir Zaslaw Adamashek knygą „Laboratorija stalo stalčiuje – matematika“. Tai nuostabi knyga, kuri puikiai parodo, kad matematika tikrai kažkam naudinga ir kad „matematikos eksperimentas“ nėra tušti žodžiai. Jame, be kita ko, yra aprašyta „kartono mįslės“ konstrukcija – įrenginys, kurį sukurti užtruksime vos penkiolika minučių ir kuris veikia kaip rimta šifravimo mašina. Pati idėja buvo tokia žinoma, minėti autoriai ją gražiai išdirbo, o aš ją šiek tiek pakeisiu ir apvilksiu matematiškesniais drabužiais.

metaliniai pjūklai

Vienoje iš mano vasarnamio gatvių Varšuvos priemiestyje grindinys neseniai buvo išardytas iš „trlinka“ - šešiakampių grindinio plokščių. Važiuoti buvo nejauku, bet matematiko siela apsidžiaugė. Uždengti plokštumą taisyklingais (t. y. taisyklingais) daugiakampiais nėra lengva. Tai gali būti tik trikampiai, kvadratai ir taisyklingi šešiakampiai.

Gal kiek pajuokavau su šiuo dvasiniu džiaugsmu, bet šešiakampis – graži figūra. Iš jo galite sukurti gana sėkmingą šifravimo įrenginį. Geometrija padės. Šešiakampis turi sukimosi simetriją – jis persidengia, kai pasukamas 60 laipsnių kartotiniu. Laukas, pažymėtas, pavyzdžiui, raide A viršutiniame kairiajame kampe pav. 1 pasukus šiuo kampu, jis irgi pateks į A langelį – ir tas pats su kitomis raidėmis. Taigi iš tinklelio iškirpkime šešis kvadratus, kurių kiekvienas turi skirtingą raidę. Tokiu būdu gautą tinklelį dedame ant popieriaus lapo. Šešiuose nemokamuose laukuose įveskite šešias teksto, kurį norime užšifruoti, raides. Apverskime lapą 60 laipsnių. Atsiras šeši nauji laukai – įveskite kitas šešias mūsų pranešimo raides.

Ryžiai. 1. Matematikos džiaugsmo nuorodos.

Teisingai pav. 1 turime taip užkoduotą tekstą: „Stotyje stovi didžiulis sunkusis garvežys“.

Dabar šiek tiek mokyklinės matematikos pravers. Keliais būdais du skaičiai gali būti išdėstyti vienas kito atžvilgiu?

Koks kvailas klausimas? Dviems: arba vienas priekyje, arba kitas.

Puikiai. Ir trys skaičiai?

Taip pat nesunku išvardyti visus nustatymus:

123, 132, 213, 231, 312, 321 d.

Na, tai keturiems! Tai vis tiek gali būti aiškiai išdėstyta. Atspėk užsakymo taisyklę, kurią įdėjau:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Kai skaitmenys yra penki, gauname 120 galimų nustatymų. Paskambinkime jiems permutacijas. Galimų n skaičių permutacijų skaičius yra sandauga 1 2 3 ... n, vadinama stiprus ir pažymėtas šauktuku: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Kitam skaičiui 6 turime 6!=720. Naudosime tai, kad šešiakampis šifro skydas būtų sudėtingesnis.

Mes pasirenkame skaičių permutaciją nuo 0 iki 5, pavyzdžiui, 351042. Mūsų šešiakampio kodavimo disko viduriniame lauke yra brūkšnys - kad jį būtų galima pastatyti "į nulinę padėtį" - brūkšnys į viršų, kaip pav. 1. Taip diską dedame ant popieriaus lapo, ant kurio turime rašyti savo ataskaitą, bet rašome ne iš karto, o apverčiame tris kartus po 60 laipsnių (t.y. 180 laipsnių) ir įvedame šešias raides. tuščius laukus. Grįžtame į pradinę padėtį. Sukame ratuką penkis kartus 60 laipsnių, tai yra penkiais savo ciferblato „dantukais“. Spausdiname. Kita skalės padėtis yra padėtis, pasukta 60 laipsnių apie nulį. Ketvirta padėtis yra 0 laipsnių, tai yra pradinė padėtis.

Ar supranti, kas atsitiko? Turime papildomą galimybę – savo „mašiną“ apsunkinti daugiau nei septynis šimtus kartų! Taigi, turime dvi nepriklausomas „automato“ pozicijas – tinklelio pasirinkimą ir permutacijos pasirinkimą. Tinklelį galima pasirinkti 66 = 46656 būdais, permutacija 720. Tai suteikia 33592320 galimybių. Daugiau nei 33 milijonai šifrų! Beveik šiek tiek mažiau, nes kai kurių tinklelių negalima iškirpti iš popieriaus.

Apatinėje dalyje pav. 1 turime pranešimą, užkoduotą taip: „Siunčiu jums keturias parašiutų divizijas“. Nesunku suprasti, kad priešui neturėtų būti leista apie tai žinoti. Bet ar jis ką nors supras:

TPOROPVMANVEORDISZ

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY

net su parašu 351042?

Statome vokišką šifravimo mašiną Enigma

Ryžiai. 2. Mūsų šifravimo mašinos pradinės sąrankos pavyzdys.

Permutacijos (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Kaip jau minėjau, už idėją sukurti tokią kartoninę mašiną esu skolinga knygai „Laboratorija stalčiuje – matematika“. Mano „konstrukcija“ šiek tiek skiriasi nuo tos, kurią pateikia jos autoriai.

Šifravimo mašina, kurią per karą naudojo vokiečiai, turėjo išradingai paprastą principą, šiek tiek panašų į tą, kurį matėme su šešiabriauniu šifru. Kaskart tas pats: nutraukti sunkų laiško priskyrimą kitai raidei. Jis turi būti keičiamas. Kaip tai padaryti, kad galėtum jį kontroliuoti?

Pasirinkime ne bet kokią permutaciją, o tokią, kurios ciklai yra 2. Paprasčiau tariant, kažkas panašaus į čia prieš kelis mėnesius aprašytą „Gaderipoluką“, bet apimantį visas abėcėlės raides. Sutarkime dėl 24 raidžių – be ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q. Kiek tokių permutacijų? Tai užduotis abiturientams (jie turėtų iš karto ją išspręsti). Kiek? Daug? Keli tūkstančiai? Taip:

1912098225024001185793365052108800000000 (net nebandykime perskaityti šio numerio). Yra tiek daug galimybių nustatyti „nulinę“ padėtį. Ir tai gali būti sunku.

Mūsų mašina susideda iš dviejų apvalių diskų. Ant vienos jų, kuri tebestovi, surašytos raidės. Tai šiek tiek panašu į seno telefono ciferblatą, kai surinkote numerį sukdami ratuką iki galo. Rotary yra antrasis su spalvų schema. Lengviausias būdas yra uždėti juos ant įprasto kamščio naudojant smeigtuką. Vietoj kamštienos galite naudoti ploną lentą arba storą kartoną. Lukasz Badowski ir Zasław Adamaszek rekomenduoja abu diskus įdėti į kompaktinių diskų dėžutę.

Įsivaizduokite, kad norime užkoduoti žodį ARMATY (Ryžiai. 2 ir 3). Nustatykite prietaisą į nulinę padėtį (rodyklė aukštyn). Raidė A atitinka F. Pasukite vidinę grandinę viena raide į dešinę. Turime koduoti raidę R, dabar ji atitinka A. Po kito pasukimo matome, kad raidė M atitinka U. Kitas pasukimas (ketvirtoji diagrama) suteikia atitiktį A - P. Penktame ciferblate turime T - A. Galiausiai (šeštas ratas ) Y – Y Priešas tikriausiai neatspės, kad mūsų CFCFA jam bus pavojingi. O kaip „mūsiškiai“ skaitys siuntimą? Jie turi turėti tą pačią mašiną, tą patį „užprogramuotą“, tai yra su ta pačia permutacija. Šifravimas prasideda nuo nulinės padėties. Taigi F reikšmė yra A. Pasukite ratuką pagal laikrodžio rodyklę. Raidė A dabar asocijuojasi su R. Jis pasuka ratuką į dešinę ir po raide U randa M ir pan. Šifruotojas bėga pas generolą: „Generole, aš pranešiu, ginklai ateina!

Ryžiai. 3. Mūsų darbo Enigma veikimo principas.

Ryžiai. 3. Mūsų darbo Enigma veikimo principas.

Net tokios primityvios Enigmos galimybės yra nuostabios. Galime pasirinkti kitas išvesties permutacijas. Galime – ir čia yra dar daugiau galimybių – ne vienu „serifu“ reguliariai, o tam tikra, kasdien besikeičiančia tvarka, panašia į šešiakampį (pavyzdžiui, pirmosios trys raidės, tada septynios, tada aštuonios, keturios ... .. ir tt).

Kaip tu gali atspėti?! Ir dar lenkų matematikams (Marianas Reevskis, Henrikas Žigalskis, Ezhi Ruzicki) įvyko. Taip gauta informacija buvo neįkainojama. Anksčiau jie turėjo ne mažiau svarbų indėlį į mūsų gynybos istoriją. Vaclavas Sierpinskis i Stanislavas Mazurkevičiuskuris pažeidė Rusijos kariuomenės kodeksą 1920 m. Pertrauktas kabelis suteikė Piłsudskiui galimybę atlikti garsųjį manevrą iš Vepso upės.

Prisimenu Vaslavą Sierpinskį (1882-1969). Jis atrodė kaip matematikas, kuriam išorinis pasaulis neegzistuoja. Apie dalyvavimą 1920 m. pergale jis negalėjo kalbėti tiek dėl karinių, tiek dėl... politinių priežasčių (Lenkijos Liaudies Respublikos valdžiai nepatiko tie, kurie mus gynė nuo Sovietų Sąjungos).

Fig. 4. Permutacija (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Ryžiai. 5. Graži puošmena, bet netinka šifravimui. Pernelyg reguliariai.

1 darbas. Na pav. 4 turite kitą permutaciją, kad sukurtumėte Enigmą. Nukopijuokite piešinį į kserografą. Sukurkite automobilį, užkoduokite savo vardą ir pavardę. Mano CWONUE JTRYGT. Jei norite, kad jūsų užrašai būtų privatūs, naudokite „Cardboard Enigma“.

2 darbas. Užšifruokite vieno iš matytų „automobilių“ vardą ir pavardę, tačiau (dėmesio!) su papildoma komplikacija: pasukame ne per žingsnį į dešinę, o pagal schemą {1, 2, 3, 2, 1, 2,... . Įsitikinkite, kad mano vardas ir pavardė yra užšifruoti kaip CZTTAK SDBITH. Dabar ar suprantate, kokia galinga buvo Enigma mašina?

Problemų sprendimas abiturientams. Kiek „Enigma“ konfigūravimo parinkčių (šioje versijoje, kaip aprašyta straipsnyje)? Turime 24 raides. Mes pasirenkame pirmąją raidžių porą - tai galima padaryti

būdai. Galima pasirinkti kitą porą

būdų, daugiau

ir tt Atlikę atitinkamus skaičiavimus (reikia padauginti visus skaičius), gauname

151476660579404160000

Tada padalykite šį skaičių iš 12! (12 faktorių), nes tas pačias poras galima gauti skirtinga tvarka. Taigi galų gale gauname „visą“

316234143225,

tai yra kiek daugiau nei 300 milijardų, o tai neatrodo stulbinančiai didelis skaičius šiuolaikiniams superkompiuteriams. Tačiau, jei atsižvelgiama į atsitiktinę pačių permutacijų tvarką, šis skaičius žymiai padidėja. Taip pat galime galvoti apie kitų tipų permutacijas.

Taip pat žiūrėkite: