Straipsnis apie nieką

Vaikystėje mane sužavėjo turbūt daugeliui skaitytojų žinoma istorija apie „sriubą ant nagų“. Mano močiutė (XNUMX a. gimimo) man tai pasakė versijoje: „Atėjo kazokas ir paprašė vandens, nes jis turi vinį ir ant jo išvirs sriubą“. Smalsi šeimininkė davė jam puodą vandens... ir mes žinome, kas nutiko toliau: „sriuba turi būti sūri, daita, močiutė, druska“, tada jis nuplovė mėsą „kad pagerintų skonį“ ir pan. Galų gale jis išmetė „išvirtą“ vinį.

Taigi šis straipsnis turėjo būti apie kosmoso tuštumą – o čia apie europietiško aparato nusileidimą ant kometos 67P / Churyumov-Gerasimenko 12 m. lapkričio 2014 d. Tačiau rašydama pasidaviau senam įpročiui, Aš vis dar matematikas. Kaip yra su Kaipс Nulis matematika?

Kaip Niekas neegzistuoja?

Negalima sakyti, kad Niekas neegzistuoja. Ji egzistuoja bent jau kaip filosofinė, matematinė, religinė ir visiškai šnekamoji sąvoka. Nulis yra įprastas skaičius, nulis laipsnių termometre taip pat yra temperatūra, o nulinis likutis banke yra nemalonus, bet dažnas reiškinys. Atkreipkite dėmesį, kad chronologijoje nėra nulio metų ir taip yra todėl, kad nulis į matematiką buvo įvestas tik vėlyvaisiais viduramžiais, vėliau nei vienuolio Dionisijaus pasiūlyta chronologija (XNUMX a.).

Kaip bebūtų keista, mes tikrai galėtume apsieiti be šio nulio, taigi ir be neigiamų skaičių. Viename iš logikos vadovėlių radau pratimą: nupiešk arba pasakyk, kaip įsivaizduoji žuvies nebuvimą. Nuostabu, ar ne? Kiekvienas gali nupiešti žuvį, bet ne viena?

Dabar trumpai pagrindinis matematikos kursas. Egzistencijos privilegijos suteikimas tuščiai aibei, pažymėtai perbrauktu apskritimu ∅, yra būtina procedūra, analogiška nulio pridėjimui prie skaičių aibės. Tuščias rinkinys yra vienintelis rinkinys, kuriame nėra jokių elementų. Tokios kolekcijos:

Tačiau nėra dviejų skirtingų tuščių rinkinių. Tuščias rinkinys įtrauktas į kiekvieną kitą rinkinį:

Iš tiesų, matematinės logikos taisyklės sako, kad aibė A yra rinkinyje B tada ir tik tada, kai sakinys:

tai reiškia

Tuščios aibės ∅ atveju teiginys visada yra klaidingas, taigi, pagal logikos dėsnius, implikacija paprastai yra teisinga. Viskas kyla iš melo („čia aš užauginsiu kaktusą, jei pereisi į kitą klasę ...“). Taigi, kadangi tuščias rinkinys yra kiekviename iš kitų, tai jei jie būtų du skirtingi, kiekvienas iš jų būtų kitame. Tačiau jei dvi aibės yra viena kitoje, jos yra lygios. Štai kodėl: yra tik vienas tuščias rinkinys!

Tuščios aibės egzistavimo postulatas neprieštarauja jokiems matematikos dėsniams, tad kodėl jo neįgyvendinus? Filosofinis principas vadinamasOccamo skustuvas» Įsakymas pašalinti nereikalingas sąvokas, bet teisingai tuščios aibės sąvoka labai praverčia matematikoje. Atkreipkite dėmesį, kad tuščios aibės matmuo yra -1 (minus vienas) - nuliniai elementai yra taškai ir jų retos sistemos, vienmačiai elementai yra linijos, o apie labai sudėtingus matematinius elementus su fraktalų matmeniu kalbėjome skyriuje apie fraktalus. .

Įdomu tai, kad visas matematikos statinys: skaičiai, skaičiai, funkcijos, operatoriai, integralai, diferencialai, lygtys... gali būti išvedami iš vienos sąvokos – tuščios aibės! Pakanka manyti, kad yra tuščias rinkinys, naujai sukurtus elementus galima sujungti į rinkinius, kad būtų galima sukurti visą matematiką. Taip natūraliuosius skaičius sukonstravo vokiečių logikas Gottlobas Frege. Nulis yra aibių klasė, kurios elementai tarpusavyje atitinka tuščiosios aibės elementus. Viena iš jų yra aibių klasė, kurios elementai tarpusavyje atitinka aibės elementus, kurių vienintelis elementas yra tuščia aibė. Du yra aibių klasė, kurios elementai yra vienas su vienu su aibės elementais, susidedančiais iš tuščios aibės ir aibės, kurios vienintelis elementas yra tuščioji aibė... ir pan. Iš pirmo žvilgsnio tai atrodo kažkas labai sudėtingo, bet iš tikrųjų taip nėra.

Mėlyna pasklido ant manęs

kvepėjo viržiais ir kvepėjo mėtomis...

Wojciech Mlynarski, Derliaus mergina

Sunku įsivaizduoti

Nieko nėra sunku įsivaizduoti. Stanisławo Lemo pasakojime „Kaip pasaulis buvo išgelbėtas“ dizaineris Trurlas sukonstravo mašiną, kuri padarytų viską, pradedant raide. Kai Klapavičius įsakė jį pastatyti Nieko, mašina pradėjo šalinti įvairius objektus iš pasaulio – turėdama galutinį tikslą viską pašalinti. Kol išsigandęs Klapaučius sustabdė mašiną, iš pasaulio amžiams dingo galeros, ievos, kabantys, laužai, rimai, plaktuvai, pufai, trintuvai, iešmai, filidronai ir šalnos. Ir iš tikrųjų jie dingo amžiams ...

Józefas Tischneris savo Kalnų filosofijos istorijoje labai gerai rašė apie nieką. Per paskutines atostogas nusprendžiau patirti šį nieką, būtent, nukeliavau į durpynus tarp Nowy Targ ir Jabłonka Podhalėje. Ši sritis netgi vadinama Pustachia. Eini, eini, bet kelio nemažėja – aišku, mūsų kukliais, lenkiškais masteliais. Vieną dieną važiavau autobusu Kanados Saskačevano provincijoje. Lauke buvo javų laukas. Nusnūdau pusvalandį. Kai pabudau, važiavome per tą patį kukurūzų lauką... Bet palaukite, ar čia tuščia? Tam tikra prasme pokyčių nebuvimas yra tik tuštuma.

Esame įpratę prie nuolatinio įvairių objektų buvimo aplink mus, ir nuo kažkas tu negali pabėgti net užsimerkęs. „Aš galvoju, vadinasi, esu“, - sakė Dekartas. Jeigu jau ką nors pagalvojau, vadinasi, egzistuoju, vadinasi, pasaulyje bent kažkas yra (būtent aš). Ar egzistuoja tai, ką aš galvojau? Apie tai galima diskutuoti, tačiau šiuolaikinėje kvantinėje mechanikoje yra žinomas Heisenbergo principas: kiekvienas stebėjimas trikdo stebimo objekto būseną. Kol pamatysime Nieko jo nėra, o kai pradedame ieškoti, objektas nustoja būti Kaip ir tampa kažkas. Tai darosi absurdiška antropinis principas: Nėra prasmės klausti, koks būtų pasaulis, jei mūsų nebūtų. Pasaulis yra toks, koks mums atrodo. Galbūt kitos būtybės pamatys Žemę kampuotą?

Pozitronas (toks teigiamas elektronas) yra erdvėje esanti skylė, „elektrono nėra“. Anihiliacijos procese elektronas įšoka į šią skylę ir „nieko neįvyksta“ – nėra skylės, nėra elektrono. Praleisiu daug juokelių apie skyles šveicariškame sūryje („kuo daugiau turiu, tuo mažiau...“). Garsus kompozitorius Johnas Cage'as jau buvo tiek išnaudojęs savo idėjas, kad sukūrė (?) muzikos kūrinį (?), kuriame orkestras sėdi nejudėdamas 4 minutes 33 sekundes ir, žinoma, nieko negroja. „Keturios minutės ir trisdešimt trys sekundės yra du šimtai septyniasdešimt trys, 273, o minus 273 laipsniai yra absoliutus nulis, ties kuriuo sustoja visi judesiai“, – aiškino kompozitorius (?).

Filtruoti iki nulio, nieko, slapyvardis, slapyvardis, nieko, nulis!

Jerzy Andrzejaus Wajdos filme „Per metus“,

eina dienos"

O kaip visi?

Daugelis žmonių (nuo paprastų ūkininkų iki iškilių filosofų) stebėjosi egzistencijos reiškiniu. Matematikoje situacija paprasta: yra kažkas, kas yra nuoseklu.

Ji dingo ribiniuose laukuose

Rugiagėlėse, piktžolėse ir liūto burnose ...

Na, tokių dalykų pasitaiko

Ypač derliaus nuėmimo metu ir derliaus nuėmimo metu

ypač…

Wojciech Mlynarski, Derliaus mergina

Viskas yra kitame Nieko kraštutinume. Matematikoje mes tai žinome Viskas neegzistuoja. Tiesiog pernelyg netiksli mintis, kad jo egzistavimas būtų laisvas nuo ginčų. Tai galima suprasti pagal senojo paradokso pavyzdį: "Jei Dievas yra visagalis, tai sukurk akmenį, kurį pakeltum?" Matematinis įrodymas, kad negali būti visų aibių aibių, pagrįstas teorema dainininkas Beršteinas, kuriame sakoma, kad „begalinis skaičius“ (matematinė: kardinolas numeris) visų duotosios aibės narių aibė yra didesnė už šios aibės elementų skaičių.

Jei aibėje yra elementų, tada ji turi 2ⁿ poaibiai; pavyzdžiui, kai = 3 ir aibė susideda iš {1, 2, 3}, tada egzistuoja šie poaibiai:

• trys dviejų elementų rinkiniai: kiekviename iš jų trūksta vieno iš skaičių 1, 2, 3,
• vienas tuščias rinkinys,
• trys vieno elemento rinkiniai,
• visas rinkinys {1,2,3}

– tik aštuoni, 2³O skaitytojai, neseniai baigę mokyklą, norėčiau prisiminti atitinkamą formulę:

Kiekvienas iš Niutono simbolių šioje formulėje nustato k elementų aibių skaičių elementų rinkinyje.

Matematikoje binominiai koeficientai atsiranda daugelyje kitų vietų, pavyzdžiui, įdomiose sumažinto daugybos formulėse:

o iš jų tikslios formos jų tarpusavio priklausomybė yra daug įdomesnė.

Sunku suprasti, kas – logikos ir matematikos atžvilgiu – yra, o kas – Viskas ne. Argumentai už nebuvimą Lygiai taip pat, kaip Mikė Pūkuotukas, kuris mandagiai paklausė savo svečio Tigro, ar tigrai apskritai mėgsta medų, giles ir erškėčius? „Tigrams patinka viskas“, - atsakė tas, iš kurio Kubusas padarė išvadą, kad jei jiems viskas patinka, jie taip pat mėgsta miegoti ant grindų, todėl jis, Vinnie, gali grįžti į lovą.

Kitas argumentas Raselio paradoksas. Mieste yra kirpėjas, kuris nusiskuta visus vyrus, kurie patys nesiskuta. Ar jis pats skutasi? Abu atsakymai prieštarauja keliamai sąlygai, kad jie žudo tuos ir tik tuos, kurie patys to nedaro.

Ieškau visų kolekcijų kolekcijos

Baigdamas pateiksiu gudrų, bet matematiškiausią įrodymą, kad nėra visų aibių (nepainioti su juo).

Pirmiausia parodysime, kad bet kuriai netuščiai aibei X neįmanoma rasti abipusiai unikalios funkcijos, kuri susietų šią aibę su jos poaibių aibe P(X). Taigi tarkime, kad ši funkcija egzistuoja. Pažymėkime jį tradiciniu f. Kas yra f iš x? Tai yra kolekcija. Ar xf priklauso x? Tai nežinoma. Arba turi, arba ne. Tačiau tam tikram x jis vis tiek turi būti toks, kad nepriklausytų f iš x. Na, tada apsvarstykite visų x aibę, kuriai x nepriklauso f(x). Pažymėkite jį (šią aibę) A. Tai atitinka kurį nors aibės X elementą a. Ar a priklauso A? Tarkime, kad turėtumėte. Bet A yra aibė, kurioje yra tik tie x elementai, kurie nepriklauso f(x)... Na, gal ji nepriklauso A? Bet aibėje A yra visi šios savybės elementai, taigi ir A. Įrodinėjimo pabaiga.

Todėl, jei būtų visų aibių aibė, ji pati būtų savo paties poaibis, o tai neįmanoma pagal ankstesnį samprotavimą.

Fu, nemanau, kad daugelis skaitytojų matė šį įrodymą. Atvirkščiai, aš jį iškėliau norėdamas parodyti, ką matematikai turėjo daryti XIX amžiaus pabaigoje, kai jie pradėjo tyrinėti savo mokslo pagrindus. Paaiškėjo, kad problemos slypi ten, kur jų niekas nesitikėjo. Be to, visai matematikai šie samprotavimai apie pagrindus nėra svarbūs: kad ir kas atsitiktų rūsiuose – visas matematikos pastatas stovi ant tvirtos uolos.

Tuo tarpu viršuje...

Pastebime dar vieną moralę iš Stanislavo Lemo istorijų. Vienoje iš savo kelionių Iyonas Tichi pasiekė planetą, kurios gyventojai po ilgos evoliucijos pagaliau pasiekė aukščiausią vystymosi stadiją. Jie visi stiprūs, gali bet ką, jiems viskas po ranka... ir jie nieko nedaro. Jie atsigula ant smėlio ir pila jį tarp pirštų. „Jei viskas įmanoma, neverta“, – aiškina jie šokiruotam Ijonui. Tegul taip nenutiks mūsų Europos civilizacijai...