TAIP KAM, tai yra: IŠBANDYKITE, KUR GALITE - 2 dalis

Ankstesnėje serijoje buvo kalbama apie Sudoku – aritmetinį žaidimą, kuriame skaičiai iš esmės išdėstomi įvairiose diagramose pagal tam tikras taisykles. Labiausiai paplitęs variantas – 9×9 šachmatų lenta, papildomai padalinta į devynias 3×3 ląsteles. Ant jo turi būti nustatyti skaičiai nuo 1 iki 9, kad jie nesikartotų nei vertikalioje eilutėje (matematikai sako: stulpelyje), nei horizontalioje eilutėje (matematikai sako: eilėje) - ir, be to, taip, kad jie nesikartoja. pakartokite bet kuriame mažesniame kvadrate.

Na pav. 1 šią dėlionę matome paprastesnėje versijoje, kuri yra 6 × 6 kvadratas, padalintas į stačiakampius 2 × 3. Į jį įterpiame skaičius 1, 2, 3, 4, 5, 6 - kad nesikartotų vertikaliai, nei horizontaliai, nei kiekviename iš pasirinktų šešiakampių.

Pabandykime parodyti viršutiniame kvadrate. Ar galite jį užpildyti skaičiais nuo 1 iki 6 pagal šiam žaidimui nustatytas taisykles? Tai įmanoma, bet dviprasmiška. Pažiūrėkime – nupieškite kvadratą kairėje arba kvadratą dešinėje.

Galime pasakyti, kad tai nėra galvosūkio pagrindas. Paprastai manome, kad galvosūkis turi vieną sprendimą. Užduotis surasti skirtingus pagrindus „didžiajam“ „Sudoku“, 9x9, yra sunki užduotis ir nėra galimybių ją visiškai išspręsti.

Kitas svarbus ryšys – prieštaringa sistema. Apatinis vidurinis kvadratas (tas, kurio skaičius yra 2 apatiniame dešiniajame kampe) negali būti užpildytas. Kodėl?

Pramogos ir rekolekcijos

Žaidžiame toliau. Pasitelkime vaikišką intuiciją. Jie tiki, kad pramogos yra įvadas į mokymąsi. Eikime į kosmosą. įjungtas pav. 2 visi mato tinklelį tetraedrasiš kamuoliukų, pavyzdžiui, stalo teniso kamuoliukų? Prisiminkite mokyklos geometrijos pamokas. Spalvos kairėje paveikslėlio pusėje paaiškina, prie ko jis klijuojamas renkant bloką. Visų pirma, trys kampiniai (raudoni) rutuliai bus suklijuoti į vieną. Todėl jų skaičius turi būti vienodas. Gal 9. Kodėl? Ir kodėl gi ne?

Oi, aš to nesuformulavau užduotys. Tai skamba maždaug taip: ar įmanoma į matomą tinklelį įrašyti skaičius nuo 0 iki 9, kad kiekviename veide būtų visi skaičiai? Užduotis nėra sunki, bet kiek reikia įsivaizduoti! Skaitytojams malonumo nesugadinsiu ir sprendimo nepateiksiu.

Tai labai graži ir neįvertinta forma. taisyklingas oktaedras, pastatytas iš dviejų piramidžių (=piramidžių) kvadratiniu pagrindu. Kaip rodo pavadinimas, oktaedras turi aštuonis veidus.

Oktaedre yra šešios viršūnės. Tai prieštarauja kubaskuris turi šešis veidus ir aštuonias viršūnes. Abiejų gumulėlių kraštai vienodi – po dvylika. Tai dvigubos kietosios medžiagos - tai reiškia, kad sujungę kubo paviršių centrus gauname oktaedrą, o oktaedro paviršių centrai duos mums kubą. Abu šie smūgiai atlieka ("nes jie turi") Eulerio formulė: Viršūnių skaičiaus ir veidų skaičiaus suma yra 2 didesnė už briaunų skaičių.

3. Taisyklingasis oktaedras lygiagrečioje projekcijoje ir oktaedro gardelė, sudaryta iš rutulių taip, kad kiekviena briauna turi keturias sferas.

1 darbas. Pirmiausia, naudodami matematinę formulę, užrašykite paskutinį ankstesnės pastraipos sakinį. Ant pav. 3 matote oktaedrinę tinklelį, taip pat sudarytą iš sferų. Kiekvienas kraštas turi keturis kamuoliukus. Kiekvienas veidas yra dešimties sferų trikampis. Užduotis keliama savarankiškai: ar galima tinklelio apskritimuose dėti skaičius nuo 0 iki 9, kad suklijavus vientisą korpusą kiekvienoje sienelėje būtų visi skaičiai (iš to išplaukia, kad be pasikartojimo). Kaip ir anksčiau, didžiausias sunkumas atliekant šią užduotį yra tai, kaip tinklelis paverčiamas kietu korpusu. Negaliu to paaiškinti raštu, todėl sprendimo nepateikiu ir čia.

4. Du ikosaedrai iš stalo teniso kamuoliukų. Atkreipkite dėmesį į skirtingą spalvų schemą.

jau Platonas (ir jis gyveno V–IV a. pr. Kr.) žinojo visus taisyklinguosius daugiakampius: tetraedrą, kubą, oktaedrą, dodekaedras i ikosaedras. Nuostabu, kaip jis ten atsidūrė – nei pieštuko, nei popieriaus, nei rašiklio, nei knygų, nei išmaniojo telefono, nei interneto! Apie dodekaedrą čia nekalbėsiu. Tačiau ikosaedrinis sudoku yra įdomus. Mes matome šį gumulą 4 iliustracijair jo tinklas 5 pav.

5. Taisyklingas ikosaedro tinklelis.

Kaip ir anksčiau, tai ne tinklelis ta prasme, kuria prisimename (?!) iš mokyklos laikų, o trikampių klijavimo iš rutuliukų (rutuliukų) būdas.

2 darbas. Kiek kamuoliukų reikia tokiam ikosaedrui pastatyti? Ar vis dar galioja toks samprotavimas: kadangi kiekvienas veidas yra trikampis, jei turi būti 20 veidų, tai reikia net 60 sferų?

6. Ikozaedro tinklelis iš sferų. Kiekvienas apskritimas yra, pavyzdžiui, stalo teniso kamuoliukas, tačiau apskritimų konstrukcija ant apskritimų, pažymėtų ta pačia spalva, susilieja į vieną. Taigi turime dvylika sferų (= dvylika viršūnių: raudona, mėlyna, violetinė, mėlyna ir aštuonios geltonos).

Nesunku pastebėti, kad trijų skaičių ikosaedre neužtenka. Tiksliau: neįmanoma išvardinti viršūnių su skaičiais 1, 2, 3, kad kiekvienas (trikampis) veidas turėtų šiuos tris skaičius ir nebūtų pasikartojimų. Ar įmanoma su keturiais skaičiais? Taip, tai įmanoma! Pažiūrėkime Ryžiai. 6 ir 7.

7. Štai kaip sunumeruoti sferas, sudarančias ikosaedrą, kad kiekviename paviršiuje būtų kiti skaičiai nei 1, 2, 3, 4. Kuris iš kūnų pav. 4 yra tokios spalvos?

3 darbas. Tris iš keturių skaičių galima pasirinkti keturiais būdais: 123, 124, 134, 234. Raskite penkis tokius trikampius ikosaedre pav. 7 (taip pat nuo iliustracijos vienas).

4 priskyrimas (reikalauja labai geros erdvinės vaizduotės). Ikozaedras turi dvylika viršūnių, tai reiškia, kad jį galima suklijuoti iš dvylikos rutuliukų (pav. 7). Atkreipkite dėmesį, kad yra trys viršūnės (= rutuliukai), pažymėtos 1, trys - 2 ir pan. Taigi, tos pačios spalvos rutuliai sudaro trikampį. Kas yra šis trikampis? Gal lygiakraštis? Pažiūrėk dar kartą iliustracijos vienas.

Kita užduotis seneliui / močiutei ir anūkui / anūkei. Pagaliau savo jėgas gali išbandyti ir tėvai, tačiau jiems reikia kantrybės ir laiko.

5 darbas. Pirkite dvylika (geriausia 24) stalo teniso kamuoliukų, kokių keturių spalvų dažų, teptuką ir tinkamus klijus – greitų tokių kaip Superglue ar Droplet nerekomenduoju, nes jie per greitai džiūsta ir yra pavojingi vaikams. Klijai ant ikosaedro. Aprenkite anūkę marškinėliais, kurie bus išskalbti (arba išmesti) iškart po to. Uždenkite stalą folija (geriausia laikraščiais). Atsargiai nuspalvinkite ikosaedrą keturiomis spalvomis 1, 2, 3, 4, kaip parodyta pav. pav. 7. Galite keisti tvarką – iš pradžių nuspalvinkite balionus, o tada suklijuokite. Tuo pačiu metu mažyčius apskritimus reikia palikti nedažytus, kad dažai nepriliptų prie dažų.

Dabar sunkiausia užduotis (tiksliau, visa jų seka).

6 priskyrimas (Konkrečiau, bendra tema). Nubraižykite ikosaedrą kaip tetraedrą ir oktaedrą Ryžiai. 2 ir 3 Tai reiškia, kad kiekviename krašte turi būti keturi rutuliai. Šiame variante užduotis atima daug laiko ir net brangiai kainuoja. Pradėkime nuo to, kiek kamuoliukų jums reikia. Kiekvienas veidas turi dešimt sferų, taigi ikosaedrui reikia dviejų šimtų? Ne! Turime prisiminti, kad daug kamuolių yra dalijami. Kiek briaunų turi ikosaedras? Tai galima kruopščiai apskaičiuoti, bet kam skirta Eulerio formulė?

w–k+s=2

kur w, k, s yra atitinkamai viršūnių, briaunų ir paviršių skaičius. Prisimename, kad w = 12, s = 20, vadinasi, k = 30. Turime 30 ikosaedro briaunų. Galima daryti kitaip, nes jei trikampių yra 20, tai jie turi tik 60 briaunų, bet dvi iš jų yra bendros.

Paskaičiuokime, kiek kamuoliukų reikia. Kiekviename trikampyje yra tik vienas vidinis rutulys – nei mūsų kūno viršuje, nei krašte. Taigi iš viso turime 20 tokių kamuoliukų. Yra 12 viršūnių. Kiekviename krašte yra du ne viršūnių rutuliukai (jie yra krašto viduje, bet ne veido viduje). Kadangi yra 30 briaunų, tai yra 60 rutuliukų, tačiau du iš jų yra bendri, tai reiškia, kad jums reikia tik 30 rutuliukų, taigi iš viso reikia 20 + 12 + 30 = 62 rutuliukų. Kamuoliukų galima nusipirkti už mažiausiai 50 centų (dažniausiai brangiau). Jei pridėsite klijų kainą, tai išeis ... daug. Geram sukibimui reikia kelių valandų kruopštaus darbo. Kartu jie tinka ramiam laisvalaikiui – rekomenduoju vietoj, pavyzdžiui, žiūrėti televizorių.

Atsitraukimas 1. Andrzejaus Wajdos filmų serijoje „Metai, dienos“ du vyrai žaidžia šachmatais „nes turi kažkaip praleisti laiką iki vakarienės“. Veiksmas vyksta Galisijos Krokuvoje. Išties: laikraščiai jau perskaityti (tada buvo 4 puslapiai), televizorius ir telefonas dar neišrastas, futbolo rungtynių nėra. Nuobodulys balose. Tokioje situacijoje žmonės sugalvojo sau pramogą. Šiandien juos turime paspaudę nuotolinio valdymo pultelį...

Atsitraukimas 2. 2019 metais vykusiame Matematikos mokytojų asociacijos posėdyje ispanų profesorius demonstravo kompiuterinę programą, galinčią nudažyti vientisas sienas bet kokia spalva. Tai buvo šiek tiek baisu, nes jie piešė tik rankas, beveik nupjovė kūną. Pagalvojau sau: kiek gali pasilinksminti iš tokio „tamsinimo“? Viskas trunka dvi minutes, o ketvirtą jau nieko neprisimename. Tuo tarpu senamadiški „rankdarbiai“ ramina ir lavina. Kas netiki, tegul pabando.

Grįžkime į XNUMX amžių ir į savo realijas. Jei nenorime atsipalaidavimo sunkiai klijuojant rutuliukus, nubraižysime bent tinklelį iš ikosaedro, kurio kraštai turi keturis rutuliukus. Kaip tai padaryti? Supjaustykite teisingai 6 pav. Dėmesingas skaitytojas jau atspėja problemą:

7 darbas. Ar įmanoma suskaičiuoti rutulius su skaičiais nuo 0 iki 9, kad visi šie skaičiai būtų kiekviename tokio ikosaedro paviršiuje?

Už ką mums mokama?

Šiandien dažnai užduodame sau klausimą, koks yra mūsų veiklos tikslas, o „pilkasis mokesčių mokėtojas“ klaus, kodėl jis turėtų mokėti matematikams, kad šie išspręstų tokius galvosūkius?

Atsakymas gana paprastas. Tokie „galvosūkiai“, patys savaime įdomūs, yra „kažko rimtesnio fragmentas“. Juk kariniai paradai – tik išorinė, įspūdinga sunkios tarnybos dalis. Pateiksiu tik vieną pavyzdį, bet pradėsiu nuo keisto, bet tarptautiniu mastu pripažinto matematikos dalyko. 1852 m. anglų studentas paklausė savo profesoriaus, ar įmanoma nuspalvinti žemėlapį keturiomis spalvomis, kad kaimyninės šalys visada būtų rodomos skirtingomis spalvomis? Leiskite pridurti, kad „kaimynais“ nelaikome tų, kurie susitinka tik viename taške, pavyzdžiui, Vajomingo ir Jutos valstijos JAV. Profesorius nežinojo... o problemos sprendimo laukė daugiau nei šimtą metų.

8. Ikozaedras iš RECO blokelių. Blykstės atšvaitai parodo, ką ikosaedras turi bendro su trikampiu ir penkiakampiu. Penki trikampiai susilieja kiekvienoje viršūnėje.

Tai atsitiko netikėtu būdu. 1976 metais grupė amerikiečių matematikų parašė programą šiai problemai išspręsti (ir jie nusprendė: taip, keturių spalvų visada užteks). Tai buvo pirmasis matematinio fakto, gauto pasitelkus „matematinę mašiną“ – taip prieš pusę amžiaus buvo vadinamas kompiuteris (o dar anksčiau: „elektroninės smegenys“) – įrodymas.

Čia yra specialiai parodytas „Europos žemėlapis“ (pav. 9). Tos šalys, kurios turi bendrą sieną, yra sujungtos. Žemėlapio spalvinimas yra toks pat, kaip šio grafiko (vadinamo grafiku) apskritimų spalvinimas, kad nė vienas sujungtas apskritimas nebūtų vienodos spalvos. Pažvelgus į Lichtenšteiną, Belgiją, Prancūziją ir Vokietiją matyti, kad trijų spalvų neužtenka. Jei nori, Skaitytojau, nuspalvink keturiomis spalvomis.

9. Kas su kuo ribojasi Europoje?

Na, taip, bet ar tai verta mokesčių mokėtojų pinigų? Taigi pažvelkime į tą patį grafiką šiek tiek kitaip. Pamirškite, kad yra valstybės ir sienos. Tegul apskritimai simbolizuoja informacijos paketus, kurie turi būti siunčiami iš vieno taško į kitą (pavyzdžiui, iš P į EST), o segmentai – galimus ryšius, kurių kiekvienas turi savo pralaidumą. Siųsti kuo greičiau?

Pirmiausia pažvelkime į labai supaprastintą, bet ir labai įdomią situaciją matematiniu požiūriu. Turime ką nors nusiųsti iš taško S (= kaip pradžią) į tašką M (= pabaigą), naudodami tokio paties pralaidumo ryšio tinklą, tarkime 1. Tai matome pav. 10.

10. Ryšių tinklas iš Statsyika Zdrój į Megapolį.

Įsivaizduokime, kad iš S į M reikia nusiųsti apie 89 bitus informacijos. Šių žodžių autoriui patinka problemos dėl traukinių, todėl jis įsivaizduoja, kad yra Stacie Zdrój vadybininkas, iš kurio turi išsiųsti 144 vagonus. iki metropolio stoties. Kodėl būtent 144? Nes, kaip matysime, tai bus naudojama viso tinklo pralaidumui apskaičiuoti. Talpa yra 1 kiekvienoje partijoje, t.y. per laiko vienetą gali pravažiuoti vienas automobilis (vienas informacinis bitas, galbūt ir Gigabaitas).

Pasirūpinkime, kad M visi automobiliai susidurtų vienu metu. Visi atvyksta per 89 laiko vienetus. Jei turiu išsiųsti labai svarbų informacijos paketą nuo S iki M, suskirstau jį į grupes po 144 vienetus ir perduodu, kaip nurodyta aukščiau. Matematika garantuoja, kad tai bus greičiausia. Kaip aš sužinojau, kad tau reikia 89? Aš iš tikrųjų atspėjau, bet jei neatspėjau, turėčiau tai išsiaiškinti Kirchhoffo lygtys (ar kas nors atsimena? - tai lygtys, apibūdinančios srovės tėkmę). Tinklo pralaidumas yra 184/89, o tai yra maždaug 1,62.

Apie džiaugsmą

Beje, man patinka numeris 144. Man patiko šiuo numeriu pažymėtu autobusu važiuoti iki Varšuvos Pilies aikštės – kai šalia nebuvo restauruotos Karališkosios pilies. Galbūt jaunieji skaitytojai žino, kas yra tuzinas. Tai 12 egzempliorių, tačiau tik vyresni skaitytojai prisimena, kad keliolika, t. 122=144, tai vadinamoji aikštelė. Ir visi, kurie matematiką išmano šiek tiek daugiau nei mokyklos programa, tą iškart supras pav. 10 turime Fibonačio skaičius ir kad tinklo pralaidumas yra artimas „auksiniam skaičiui“

Fibonačio sekoje 144 yra vienintelis skaičius, kuris yra tobulas kvadratas. Šimtas keturiasdešimt keturi taip pat yra „džiaugsmingas skaičius“. Taip indų matematikas mėgėjas Dattatreya Ramachandra Caprecar 1955 m. jis įvardijo skaičius, kurie dalijasi iš juos sudarančių skaitmenų sumos:

Jei jis tai žinotų Adomas Mickevičius, jis tikrai būtų parašęs ne Dzyady: „Iš svetimos motinos; jo kraujas yra jo seni herojai / Ir jo vardas keturiasdešimt ketveri, tik elegantiškesnis: Ir jo vardas šimtas keturiasdešimt keturi.

Į pramogas žiūrėkite rimtai

Tikiuosi, kad įtikinau skaitytojus, kad „Sudoku“ galvosūkiai yra linksmoji klausimų, į kuriuos tikrai verta žiūrėti rimtai, pusė. Negaliu toliau plėtoti šios temos. O, viso tinklo pralaidumo apskaičiavimas pagal pateiktą diagramą pav. 9 lygčių sistemos parašymas užtruktų dvi ar daugiau valandų – gal net keliasdešimt sekundžių (!) darbo kompiuteriu.