Spalvoti kvadratai ir saulės užtemimai

Straipsnyje aprašomos mano pamokos vidurinių mokyklų moksleiviams – Nacionalinio vaikų fondo stipendininkams. Fondas ieško ypač gabių vaikų ir jaunimo (nuo XNUMX pradinės mokyklos klasės iki vidurinės mokyklos) ir siūlo „stipendijas“ atrinktiems mokiniams. Tačiau tai visai ne grynųjų pinigų išėmimas, o visapusiškas rūpinimasis talentų ugdymu, kaip taisyklė, daugelį metų. Skirtingai nuo daugelio kitų tokio tipo projektų, žinomi mokslininkai, kultūros veikėjai, žymūs humanistai ir kiti išmintingi žmonės, taip pat kai kurie politikai rimtai žiūri į Fondo globotinius.

Fondo veikla apima visas disciplinas, kurios yra pagrindinės mokyklos dalykai, išskyrus sportą, įskaitant meną. Fondas buvo sukurtas 1983 metais kaip priešnuodis tuometinei realybei. Į fondą gali kreiptis bet kas (dažniausiai per mokyklą, geriausia iki mokslo metų pabaigos), bet, žinoma, yra tam tikras sietas, tam tikra kvalifikacijos tvarka.

Kaip jau minėjau, straipsnis yra paremtas mano meistriškumo kursais, konkrečiai Gdynėje, 2016 m. kovo mėn., III vidurinės mokyklos 24-ojoje vidurinėje mokykloje. Karinis jūrų laivynas. Jau daugelį metų šiuos seminarus fondui globoja nepaprastos charizmos ir aukšto intelekto lygio mokytojas Wojciechas Thomalczyk. 2008 metais Lenkijoje pateko į dešimtuką, kuriems suteiktas pedagogikos profesoriaus vardas (įstatyme numatytas prieš daugelį metų). Teiginys: „Švietimas yra pasaulio ašis“ yra šiek tiek perdėta.

ir mėnulis visada žavi – tuomet pajusite, kad gyvename mažytėje planetoje didžiulėje erdvėje, kur viskas juda, matuojant centimetrais ir sekundėmis. Tai mane net šiek tiek gąsdina, taip pat ir laiko perspektyva. Sužinome, kad kitas visiškas užtemimas, matomas iš šiandieninės Varšuvos srities, įvyks ... 2681 m. Įdomu, kas tai pamatys? Akivaizdūs Saulės ir Mėnulio dydžiai mūsų danguje yra beveik vienodi – štai kodėl užtemimai tokie trumpi ir įspūdingi. Šimtmečiams tų trumpų minučių turėtų pakakti, kad astronomai pamatytų Saulės vainiką. Keista, kad jie vyksta du kartus per metus... bet tai tik reiškia, kad kažkur Žemėje juos galima pamatyti trumpą laiką. Dėl potvynių judėjimo Mėnulis tolsta nuo Žemės – po 260 milijonų metų jis bus taip toli, kad mes (mes???) matysime tik žiedinius užtemimus.

Matyt, pirmasis nuspėjo užtemimas, buvo Talis iš Mileto (28-585 a. pr. Kr.). Tikriausiai nesužinosime, ar tai iš tikrųjų įvyko, tai yra, ar jis tai numatė, nes faktas, kad užtemimas Mažojoje Azijoje įvyko 567 m. gegužę, 566 m. pr. Kr., yra faktas, patvirtintas šiuolaikiniais skaičiavimais. Žinoma, cituoju šios dienos duomenis. Kai buvau vaikas, įsivaizdavau, kaip žmonės skaičiuoja metus. Taigi, pavyzdžiui, XNUMX metų prieš Kristų, artėja Naujųjų metų išvakarės ir žmonės džiaugiasi: tik XNUMX metų prieš Kristų! Kokie jie turėjo būti laimingi, kai pagaliau atėjo „mūsų era“! Kokią tūkstantmečių sandūrą patyrėme prieš keletą metų!

Datų ir intervalų skaičiavimo matematika užtemimai, nėra itin sudėtingas, bet prigrūstas įvairiausių faktorių, susijusių su reguliarumu ir, dar blogiau, su netolygiu kūno judėjimu orbitose. Aš net norėčiau žinoti šią matematiką. Kaip Talis iš Mileto galėjo atlikti reikiamus skaičiavimus? Atsakymas paprastas. Turite turėti dangaus žemėlapį. Kaip padaryti tokį žemėlapį? Tai taip pat nėra sunku, senovės egiptiečiai žinojo, kaip tai padaryti. Vidurnaktį du kunigai išeina ant šventyklos stogo. Kiekvienas iš jų atsisėda ir piešia tai, ką mato (kaip jo kolega). Po dviejų tūkstančių metų mes žinome viską apie planetų judėjimą ...

Graži geometrija arba linksmybės ant „kilimėlio“

Graikai nemėgo skaičių, jie griebėsi geometrijos. Tai mes darysime. Mūsų užtemimas jie bus paprasti, spalvingi, bet tokie pat įdomūs ir tikri. Mes priimame susitarimą, kad mėlyna figūra juda taip, kad užtemdo raudoną. Mėlyną figūrą pavadinkime mėnuliu, o raudoną – saule. Užduodame sau šiuos klausimus:

1. kiek laiko trunka užtemimas;
2. kai įveikiama pusė taikinio;

   Ryžiai. 1 Daugiaspalvis „kilimas“ su saule ir mėnuliu

3. kokia yra didžiausia aprėptis;
4. ar galima analizuoti skydo dengimo priklausomybe nuo laiko? Šiame straipsnyje (man riboja teksto kiekis) daugiausia dėmesio skirsiu antrajam klausimui. Už to slypi graži geometrija, galbūt be nuobodžių skaičiavimų. Pažiūrėkime į pav. 1. Ar galima manyti, kad jis bus susijęs su ... saulės užtemimu?

Turiu nuoširdžiai pasakyti, kad užduotys, kurias aptarsiu, bus specialiai parinktos, pritaikytos vidurinių ir aukštųjų mokyklų mokinių žinioms ir įgūdžiams. Bet mes treniruojamės prie tokių užduočių, kaip muzikantai groja svarstyklėmis, o sportininkai atlieka bendrus lavinimo pratimus. Be to, ar tai ne tik gražus kilimas (1 pav.)?

Ryžiai. 2 „Mėlynas“ mėnulis ir „raudona“ saulė

Mūsų dangaus kūnai, bent jau iš pradžių, bus spalvoti kvadratai. Mėnulis mėlynas, saulė raudona (geriausia spalvinti). su dabartimi užtemimas Mėnulis persekioja saulę dangumi, pasiveja ... ir uždaro. Taip bus ir pas mus. Paprasčiausias atvejis, kai Mėnulis juda Saulės atžvilgiu, kaip parodyta Fig. 2. Užtemimas prasideda, kai Mėnulio disko kraštas paliečia Saulės disko kraštą (2 pav.), ir baigiasi, kai išeina už jo.

Ryžiai. 3 Mėnulis artėja prie saulės įstrižai

Manome, kad „Mėnulis“ juda po vieną ląstelę per laiko vienetą, pavyzdžiui, per minutę. Tada užtemimas trunka aštuonis laiko vienetus, tarkime, minutes. Pusė saulės užtemimai visiškai pritemdyta Pusė ciferblato uždaroma du kartus: po 2 ir 6 minučių. Procentinio užtemdymo grafikas yra paprastas. Per pirmas dvi minutes skydas tolygiai užsidaro nuo nulio iki 1, kitas dvi minutes jis eksponuojamas tokiu pat greičiu.

Štai įdomesnis pavyzdys (3 pav.). Mėnulis artėja prie saulės įstrižai. Pagal mūsų susitarimą dėl minutės mokėjimo užtemimas trunka 8√2 minučių – šio laiko viduryje turime visišką užtemimą. Paskaičiuokime, kokia saulės dalis yra padengta po laiko t (3 pav.). Jei nuo užtemimo pradžios praėjo t minutės, ir dėl to Mėnulis yra toks, kaip parodyta Fig. 5, tada (dėmesio!) Todėl jis yra uždengtas (kvadrato APQR plotas), lygus pusei saulės disko, todėl buvo uždengtas, kai, t.y. po 4 minučių (tada likus 4 minutėms iki užtemimo pabaigos).

Ryžiai. 4 "Shading" funkcijos grafikas

Visumą trunka vieną akimirką (t = 4√2), o „tamsuotos dalies“ funkcijos grafikas susideda iš dviejų parabolių lankų (4 pav.).

Mūsų mėlynas mėnulis palies kampą su raudona saule, bet jis jį uždengs, eidamas ne įstrižai, o šiek tiek įstrižai.Įdomi geometrija atsiranda, kai šiek tiek apsunkiname judėjimą (6 pav.). Judėjimo kryptis dabar yra vektorius [4,3], tai yra „keturios ląstelės į dešinę, trys ląstelės į viršų“. Saulės padėtis tokia, kad užtemimas prasideda (padėtis A), kai „dangaus kūnų“ kraštinės suartėja į ketvirtadalį jų ilgio. Kai Mėnulis pajudės į B padėtį, jis užtems šeštadalį Saulės, o C padėtyje – pusę. D pozicijoje turime visišką užtemimą, o tada viskas grįžta atgal, „kaip buvo“.

Ryžiai. 5 Dalis Saulės paslėpta per laiką t

Užtemimas baigiasi, kai Mėnulis yra G padėtyje. Jis truko tiek pat sekcijos ilgis AG. Jei, kaip ir anksčiau, laiko vienetu imame laiką, per kurį Mėnulis praeina „vieną kvadratą“, tai AG ilgis yra lygus. Jei grįžtume prie senosios nuostatos, kad mūsų dangaus kūnai yra 4:4, rezultatas būtų kitoks (koks?). Kaip nesunku parodyti, taikinys užsidaro po to, kai t < 15. Funkcijos „Ekrano aprėpties procentas“ grafiką galima pamatyti pav. 6.

Ryžiai. 6 „Procentinės apsaugos“ funkcijos grafikas

Užtemimo ir šuolio lygtis

Ryžiai. 7 Saulės disko kliūtis užtemimo metu, parodyto pav. 6

Užtemimų problema būtų neišsami, jei nenagrinėtume apskritimų atvejo. Tai daug sudėtingiau, bet pabandykime išsiaiškinti, kada vienas apskritimas užtemdo pusę kito – o paprasčiausiu atveju, kai vienas iš jų juda juos abu jungiančiu skersmeniu. Piešinys yra pažįstamas kai kurių kredito kortelių turėtojams.

Laukų padėties apskaičiavimas yra sudėtingas, nes tam reikia, pirma, apskritimo atkarpos ploto formulės išmanymo, antra, kampo lanko ir trečia (ir blogiausia) gebėjimo išspręsti tam tikrą šuolio lygtį. Neaiškinsiu, kas yra „pereinamoji lygtis“, pažiūrėkime į pavyzdį (8 pav.).

Ryžiai. 8 „Sferinis“ užtemimas

Apskrito atkarpa – tai „dubuo“, kuris lieka nupjovus apskritimą tiesia linija. Tokio segmento plotas yra S = 1/2r²(φ-sinφ), kur r – apskritimo spindulys, o φ – centrinis kampas, į kurį remiasi atkarpa (8 pav.). Tai lengvai gaunama atėmus trikampio plotą iš apskrito sektoriaus ploto.

Epizodas O₁O₂ (atstumas tarp apskritimų centrų) tada lygus 2rcosφ/2, o aukštis (plotis, „juosmens linija“) h = 2rsinφ/2. Taigi, jei norime apskaičiuoti, kada Mėnulis uždengs pusę saulės disko, turime išspręsti lygtį: kuri supaprastinus tampa:

Ryžiai. 9 Dviejų funkcijų grafikai

Tokių lygčių sprendimas peržengia paprastą algebrą – lygtyje yra ir kampai, ir jų trigonometrinės funkcijos. Lygtis nepasiekiama tradiciniais metodais. Todėl ir vadinasi šokti. Pirmiausia pažvelkime į abiejų funkcijų grafikus, tai yra funkcijų ir funkcijų, iš šio paveikslo galime perskaityti apytikslį sprendimą. Tačiau galime gauti pasikartojantį apytikslį apskaičiavimą arba… naudoti Excel skaičiuoklės parinktį Solver. Kiekvienas gimnazistas turėtų tai daryti, nes XX a. Naudojau sudėtingesnį „Mathematica“ įrankį ir čia yra mūsų sprendimas su nereikalingo tikslumo 20 skaičiais po kablelio:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Ryžiai. 10 Užtemimo animacija matematicoje

Tai paverčiame laipsniais, padauginus iš 180/π. Gauname 132 laipsnius, 20 minučių, 45 ir ketvirtadalį lanko sekundės. Apskaičiuojame, kad atstumas iki apskritimo centro yra O₁O₂ = 0,808 spindulys, o "juosmuo" - 2,310.