Lem, Tokarczuk, Krokuva, matematika

3 metų rugsėjo 7-2019 dienomis Krokuvoje vyko jubiliejinis Lenkijos matematikų draugijos kongresas. Jubiliejus, nes Draugijos įkūrimo šimtmetis. Galicijoje ji egzistavo nuo 1 metų (be būdvardžio, kad imperatoriaus FJ1919 lenkiškasis liberalizmas turėjo savo ribas), tačiau kaip visos šalies organizacija veikė tik nuo 1919 m. Pagrindiniai lenkų matematikos pasiekimai siekia 1939 m. XNUMX-XNUMX. XNUMX Jano Kazimiero universitete Lvove, tačiau suvažiavimas ten negalėjo vykti – ir tai nėra pati geriausia idėja.

Susitikimas buvo labai šventiškas, kupinas lydinčių įvykių (įskaitant Jaceko Wojcickio pasirodymą Niepolomice pilyje). Pagrindines paskaitas skaitė 28 pranešėjai. Jie buvo lenkiškai, nes kviestiniai svečiai buvo lenkai – nebūtinai pilietiškumo prasme, bet pripažįstantys save lenkais. O taip, tik trylika dėstytojų atvyko iš Lenkijos mokslo institucijų, likę penkiolika – iš JAV (7), Prancūzijos (4), Anglijos (2), Vokietijos (1) ir Kanados (1). Na, tai yra gerai žinomas reiškinys futbolo lygose.

Geriausi nuolat koncertuoja užsienyje. Šiek tiek liūdna, bet laisvė yra laisvė. Keletas lenkų matematikų užsienyje padarė karjerą, kuri Lenkijoje nepasiekiama. Pinigai čia vaidina antraeilį vaidmenį, bet aš nenoriu tokiomis temomis rašyti. Gal tik du komentarai.

Rusijoje, o prieš tai Sovietų Sąjungoje, tai buvo ir yra pačiame sąmoningiausiame lygyje... ir kažkaip niekas nenori ten emigruoti. Savo ruožtu Vokietijoje į bet kurį universitetą pretenduoja apie keliolika kandidatų (kolegos iš Konstanco universiteto teigė, kad per metus turėjo 120 prašymų, iš kurių 50 buvo labai geri, 20 – puikūs).

Keletą Jubiliejinio kongreso paskaitų galima apibendrinti mūsų mėnesiniame žurnale. Tokios antraštės kaip „Retų grafikų ir jų pritaikymo ribos“ arba „Tiesinė poerdvių ir faktorinių erdvių struktūra ir geometrija, skirta didelės dimensijos normalizuotoms erdvėms“ paprastam skaitytojui nieko nepasakys. Antrąją temą pristatė mano draugas iš pirmųjų kursų, Nicole Tomchak.

Prieš keletą metų ji buvo nominuota už šioje paskaitoje pristatytą pasiekimą. Fieldso medalis yra atitikmuo matematikams. Kol kas šį apdovanojimą gavo tik viena moteris. Taip pat verta dėmesio paskaita Anna Marciniak-Chokhra (Heidelbergo universitetas) „Mechanistinių matematinių modelių vaidmuo medicinoje leukemijos modeliavimo pavyzdžiu“.

įstojo į mediciną. Varšuvos universitete grupė, vadovaujama prof. Jerzy Tyurinas.

Paskaitos pavadinimas skaitytojams bus nesuprantamas Veslava Niziol (z prestiżowej aukštoji pedagoginė mokykla) “- Adic Hodge teorija“. Nepaisant to, būtent šią paskaitą nusprendžiau čia aptarti.

Geometrija – adic pasauliai

Tai prasideda nuo paprastų smulkmenų. Ar prisimeni, Skaitytojau, apsikeitimo raštu metodą? Būtinai. Prisiminkite nerūpestingus pradinės mokyklos metus. Padalinkite 125051 iš 23 (tai veiksmas kairėje). Ar žinote, kad gali būti kitaip (veiksmas dešinėje)?

Šis naujas metodas yra įdomus. Aš einu nuo galo. 125051 reikia padalyti iš 23. Iš ko reikia padauginti 23, kad paskutinis skaitmuo būtų 1? Ieškome atmintyje ir turime :=7. Paskutinis rezultato skaitmuo yra 7. Padauginkite, atimkite, gausime 489. Kaip padauginti iš 23, kad gautumėte 9? Žinoma, iki 3. Mes pasiekiame tašką, kai nustatome visus rezultato skaičius. Manome, kad tai nepraktiška ir sudėtingesnė nei įprastas metodas – bet tai praktikos reikalas!

Viskas pasisuka kitaip, kai narsus žmogus nėra visiškai padalintas daliklio. Padalykime ir pažiūrėkime, kas atsitiks.

Kairėje yra tipiškas mokyklos takelis. Dešinėje „mūsų keistieji“.

Abu rezultatus galime patikrinti padauginę. Mes suprantame pirmąjį: trečdalis skaičiaus 4675 yra tūkstantis penki šimtai penkiasdešimt aštuoni ir trys per laikotarpį. Antrasis neturi prasmės: prieš ką šis skaičius yra begalinis šešių skaičius, o tada 8225?

Trumpam palikime prasmės klausimą. Žaiskime. Taigi padalinkime 1 iš 3, o tada 1 iš 7, tai yra vienas trečdalis ir viena septintoji. Mes galime lengvai gauti:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Ši paskutinė eilutė reiškia: blokas 285714 pradžioje kartojasi neribotą laiką ir galiausiai jų yra trys. Tiems, kurie netiki, čia yra testas:

Dabar pridėkime trupmenas:

Tada gautus keistus skaičius sumuojame ir gauname (patikriname) tą patį keistą skaičių.

......95238095238095238095238010

Galime patikrinti, ar tai lygu

Esmė dar nepastebėta, bet aritmetika teisinga.

Dar vienas pavyzdys.

Įprastas, nors ir didelis, numeris 40081787109376 turi įdomią savybę: jo aikštė taip pat baigiasi 40081787109376. numeris x40081787109376, kuris yra ( x40081787109376)² taip pat baigiasi x40081787109376.

Patarimas. Turime 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, taigi kitas skaitmuo yra papildinys nuo trijų iki dešimties, kuris yra 7. Patikrinkime: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Klausimas, kodėl taip yra, yra sunkus. Tai paprasčiau: raskite panašias galūnes skaičiams, kurie baigiasi 5. Tęsdami sekančių skaitmenų paieškos procesą neribotą laiką, prieisime prie tokių „skaičių“, ²=²= (ir nė vienas iš šių skaičių nėra lygus nuliui ar vienetui).

mes gerai suprantame. Kuo toliau po kablelio, tuo skaičius mažiau svarbus. Inžineriniuose skaičiavimuose svarbus pirmasis skaitmuo po kablelio, kaip ir antrasis, tačiau daugeliu atvejų galima daryti prielaidą, kad apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis yra 3,14. Žinoma, į aviacijos pramonę reikia įtraukti daugiau skaičių, bet nemanau, kad jų bus daugiau nei dešimt.

Pavadinimas pasirodė straipsnio pavadinime Stanislavas Lemas (1921-2006), taip pat mūsų naujasis Nobelio premijos laureatas. Ponia Olga Tokarčiuk Paminėjau tai tik todėl, kad rėkianti neteisybėFaktas yra tas, kad Stanislavas Lemas negavo Nobelio literatūros premijos. Bet tai ne mūsų kampelyje.

Lemas dažnai numatė ateitį. Jis svarstė, kas nutiks, kai jie taps nepriklausomi nuo žmonių. Kiek daug filmų šia tema pasirodė pastaruoju metu! Lemas gana tiksliai nuspėjo ir aprašė optinį skaitytuvą ir ateities farmakologiją.

Matematiką išmanė, nors kartais ją traktuodavo kaip ornamentą, nesirūpindamas skaičiavimų teisingumu. Pavyzdžiui, istorijoje „Bandymas“ Pirkso pilotas išskrenda į orbitą B68, kurio sukimosi periodas – 4 valandos ir 29 minutės, o nurodymas – 4 valandos ir 26 minutės. Jis prisimena, kad skaičiavo su 0,3 procento paklaida. Jis duoda duomenis į Skaičiuoklę, o skaičiuotuvas atsako, kad viskas gerai... Na, ne. Trys dešimtosios procento 266 minučių yra mažiau nei minutė. Bet ar ši klaida ką nors keičia? Gal tai buvo tyčia?

Kodėl aš rašau apie tai? Daugelis matematikų taip pat iškėlė šį klausimą: įsivaizduokite bendruomenę. Jie neturi mūsų žmogiško proto. Mums 1609,12134 ir 1609,23245 yra labai artimi skaičiai – geras angliškos mylios priartėjimas. Tačiau kompiuteriai gali laikyti, kad numeriai 468146123456123456 ir 9999999123456123456 yra artimi. Jie turi tas pačias dvylikos skaitmenų galūnes.

Kuo daugiau bendrų skaitmenų pabaigoje, tuo artimesni skaičiai. Ir tai veda į vadinamąjį atstumą - adic. Tegu p akimirką lygus 10; kodėl tik „tam laikui“, paaiškinsiu ... dabar. Aukščiau parašytų skaičių 10 taškų atstumas yra 

arba viena milijoninė dalis – nes šių skaičių gale yra šeši bendri skaitmenys. Visi sveikieji skaičiai nuo nulio skiriasi vienu ar mažiau. Aš net nerašysiu šablono, nes tai nesvarbu. Kuo daugiau identiškų skaičių pabaigoje, tuo artimesni skaičiai (žmogui, priešingai, laikomi pradiniai skaičiai). Svarbu, kad p būtų pirminis skaičius.

Tada - jiems patinka nuliai ir vienetai, todėl jie mato viską šiuose raštuose: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

Romane „Glos Pana“ Stanislovas Lemas pasamdo mokslininkus, kad šie pabandytų perskaityti iš pomirtinio pasaulio atsiųstą žinią, pažymėtą, žinoma, nuliu vienu. Ar kas nors mums rašo? Lemas teigia, kad „bet kurią žinią galima perskaityti, jei tai yra pranešimas, kad kažkas norėjo mums ką nors pasakyti“. Bet ar taip? Paliksiu skaitytojams šią dilemą.

Mes gyvename XNUMXD erdvėje R³. Laiškas R primena, kad ašis sudaro realieji skaičiai, t. y. sveikieji skaičiai, neigiami ir teigiami, nulis, racionalieji (t. y. trupmenos) ir neracionalieji, kuriuos skaitytojai sutiko mokykloje (), ir skaičių, žinomų kaip transcendentiniai skaičiai, neprieinami algebroje (tai yra skaičius π , kuris jau daugiau nei du tūkstančius metų jungia apskritimo skersmenį su jo apskritimu).

O kas, jei mūsų erdvės ašys būtų -adiniai skaičiai?

Jerzy Miodušovskis, matematikas iš Silezijos universiteto, teigia, kad taip gali būti ir netgi gali būti. Su tokiomis būtybėmis galime (sako Jerzy Mioduszewski) užimti tą pačią vietą erdvėje, nesikišdami ir vienas kito nematydami.

Taigi, turime ištirti visą „jų“ pasaulio geometriją. Vargu ar „jie“ apie mus mąsto taip pat ir tyrinėja mūsų geometriją, nes mūsų yra visų „jų“ pasaulių ribinis atvejis. „Jie“, tai yra visi pragariški pasauliai, kur jie yra pirminiai skaičiai. Visų pirma = 2 ir šis žavus nulinio vieneto pasaulis...

Čia straipsnio skaitytojas gali supykti ir net supykti. – Ar tai matematikai daro tokias nesąmones? Jie fantazuoja po vakarienės išgerti degtinės, už mano (=mokesčių mokėtojo) pinigus. Ir išsklaidyk juos į keturis vėjus, tegul į valstybinius ūkius... oi, nebėra valstybinių ūkių!

Atsipalaiduok. jie visada turėjo polinkį tokiems pokštams. Paminėsiu tik sumuštinio teoremą: jei turiu sumuštinį su sūriu ir kumpiu, galiu jį supjaustyti vienu gabalu, kad bandelė, kumpis ir sūris būtų perpus. Tai praktiškai nenaudinga. Esmė ta, kad tai tik žaismingas įdomios bendrosios funkcinės analizės teoremos taikymas.

Ar rimtai reikia elgtis su -adic skaičiais ir susijusia geometrija? Priminsiu skaitytojui, kad racionalūs skaičiai (supaprastintai: trupmenos) guli ant linijos tankiai, bet neužpildo jos glaudžiai.

Neracionalūs skaičiai gyvena „skylėse“. Jų yra daug, be galo daug, bet galima sakyti, kad jų begalybė didesnė nei pačių paprasčiausių, kuriuose skaičiuojame: vienas, du, trys, keturi ... ir taip iki ∞. Tai mūsų žmogiškas „skylių“ užpildymas. Mes paveldėjome šią psichinę struktūrą iš pitagoriečiai. 

Tačiau matematikui įdomu ir svarbu tai, kad šių skylių negalima „užtaisyti“ neracionaliais ir p-adiniais skaičiais (visiems pirminiams skaičiams p). Tiems skaitytojams, kurie tai supranta (o to buvo mokoma kiekvienoje vidurinėje mokykloje prieš trisdešimt metų), svarbu, kad kiekviena seka, kuri tenkina Koši būsena, susilieja.

Erdvė, kurioje tai tiesa, vadinama užbaigta („nieko netrūksta“). Atsiminsiu numerį 547721051611007740081787109376.

Seka 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 ir tt susilieja į tam tikrą ribą, kuri yra maždaug 0,5477210516110077400 81787109376.

Tačiau 10 adic atstumo požiūriu skaičių 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 ir tt seka taip pat susilieja su „keistu“ numeriu ... 547721051 611007740081787109376.

Tačiau net ir tai gali būti nepakankama priežastis skirti mokslininkams viešųjų pinigų. Apskritai mes (matematikai) ginamės sakydami, kad neįmanoma nuspėti, kuo mūsų tyrimai bus naudingi. Beveik neabejotina, kad kiekvienas bus naudingas ir kad tik veiksmai plačiame fronte turi sėkmės galimybę.

Vienas didžiausių išradimų – rentgeno aparatas – buvo sukurtas atsitiktinai aptikus radioaktyvumą bekerelis. Jei ne šis atvejis, daugelio metų tyrimai tikriausiai būtų buvę nenaudingi. „Ieškome būdo, kaip padaryti žmogaus kūno rentgeno nuotrauką“.

Galiausiai, svarbiausias dalykas. Visi sutinka, kad gebėjimas spręsti lygtis vaidina svarbų vaidmenį. Ir čia mūsų keisti skaičiai yra gerai apsaugoti. Atitinkama teorema (Nekenčiu Minkovskio) sako, kad kai kurias lygtis galima išspręsti racionaliais skaičiais, jei jos turi realias šaknis ir šaknis kiekviename -adiniame kūne.

Daugiau ar mažiau toks požiūris buvo pristatytas Andrew Wiles, kuri išsprendė garsiausią pastarųjų trijų šimtų metų matematinę lygtį – skaitytojams rekomenduoju ją įvesti į paieškos sistemą „Paskutinė Fermato teorema“.