atvirkštinis žavesys
Daug kalbama apie „priešingybių žavesį“, ir ne tik matematikoje. Atminkite, kad priešingi skaičiai yra tie, kurie skiriasi tik ženklu: plius 7 ir minus 7. Priešingų skaičių suma lygi nuliui. Bet mums (t.y. matematikams) įdomesni yra atsakomieji koeficientai. Jei skaičių sandauga yra lygi 1, tai šie skaičiai yra atvirkštiniai vienas kitam. Kiekvienas skaičius turi savo priešingybę, kiekvienas skaičius, kuris nėra nulis, turi atvirkštinę. Reciprokinis dydis yra sėkla.
Inversija įvyksta ten, kur du dydžiai yra susiję vienas su kitu, todėl jei vienas didėja, kitas mažėja atitinkamu greičiu. „Aktualus“ reiškia, kad šių kiekių sandauga nekinta. Iš mokyklos prisimename: tai atvirkštinė proporcija. Jei noriu pasiekti tikslą dvigubai greičiau (t. y. sutrumpinti laiką per pusę), turiu padvigubinti greitį. Jei sandaraus indo su dujomis tūris sumažinamas n kartų, tai jo slėgis padidės n kartų.
Pradiniame ugdyme kruopščiai skiriame skirtingą ir santykinį palyginimus. "Kiek daugiau"? – „Kiek kartų daugiau?
Štai keletas mokyklos užsiėmimų:
1 darbas. Iš dviejų teigiamų verčių pirmoji yra 5 kartus didesnė už antrąją ir tuo pačiu 5 kartus didesnė už pirmąją. Kokie matmenys?
2 darbas. Jei vienas skaičius yra 3 didesnis už antrąjį, o antrasis yra 2 didesnis už trečią, kiek pirmasis skaičius yra didesnis už trečiąjį? Jei pirmasis teigiamas skaičius yra du kartus didesnis už antrąjį, o pirmasis skaičius yra tris kartus didesnis už trečią, kiek kartų pirmasis skaičius yra didesnis už trečiąjį?
3 darbas. 2 užduotyje leidžiami tik natūralieji skaičiai. Ar įmanomas toks susitarimas, kaip aprašyta?
4 darbas. Iš dviejų teigiamų reikšmių pirmoji yra 5 kartus didesnė už antrąją, o antroji yra 5 kartus didesnė už pirmąją. Ar tai įmanoma?
Sąvoka „vidutinis“ arba „vidutinis“ atrodo labai paprasta. Jei pirmadienį dviračiu nuvažiuodavau 55 km, antradienį – 45 km, trečiadienį – 80 km, tai per dieną vidutiniškai nuvažiuodavau 60 km. Iš visos širdies sutinkame su šiais skaičiavimais, nors jie šiek tiek keisti, nes per vieną dieną nenuvažiavau 60 km. Lygiai taip pat lengvai priimame ir žmogaus akcijas: jei per šešias dienas restorane apsilanko du šimtai žmonių, tai vidutinė dienos norma – 33, o trečdalis žmonių. Hm!
Problemų yra tik su vidutiniu dydžiu. Man patinka važinėtis dviračiu. Tad pasinaudojau kelionių agentūros „Eime su mumis“ pasiūlymu – jie pristato bagažą į viešbutį, kur klientas poilsio tikslais važinėja dviračiu. Penktadienį važiavau keturias valandas: pirmas dvi 24 km per valandą greičiu. Tada aš taip pavargau, kad kitus du greičiu tik 16 per valandą. Koks buvo mano vidutinis greitis? Žinoma (24+16)/2=20km=20km/val.
Tačiau šeštadienį bagažas buvo paliktas viešbutyje, nuėjau apžiūrėti už 24 km esančių pilies griuvėsių ir juos pamatęs grįžau. Važiavau valandą viena kryptimi, atgal grįžau lėčiau, 16 km per valandą greičiu. Koks buvo mano vidutinis greitis maršrute viešbutis-pilis-viešbutis? 20 km per valandą? Žinoma ne. Juk iš viso nuvažiavau 48 km ir atgal užtrukau valandą („ten“) ir pusantros valandos. 48 km per dvi su puse valandos, t.y. valanda 48/2,5=192/10=19,2 km! Šioje situacijoje vidutinis greitis yra ne aritmetinis vidurkis, o duotų verčių harmonika:
o šią dviaukštę formulę galima perskaityti taip: teigiamų skaičių harmoninis vidurkis yra jų abipusio skaičiaus aritmetinio vidurkio atvirkštinė vertė. Atvirkštinių sumų atvirkštinė vertė atsiranda daugelyje mokyklinių užduočių chorų: jei vienas darbininkas kasa valandas, kitas - b valandas, tai dirbdami kartu, jie kasa laiku. vandens baseinas (vienas per valandą, kitas b val.). Jei vienas rezistorius turi R1, o kitas - R2, tada jie turi lygiagrečią varžą.
Jei vienas kompiuteris gali išspręsti problemą per kelias sekundes, kitas kompiuteris per b sekundes, tada kai jie dirba kartu...
Sustabdyti! Čia analogija ir baigiasi, nes viskas priklauso nuo tinklo greičio: ryšių efektyvumo. Darbuotojai taip pat gali trukdyti arba padėti vieni kitiems. Jei vienas žmogus gali iškasti šulinį per aštuonias valandas, ar aštuoniasdešimt darbininkų gali tai padaryti per 1/10 valandos (arba 6 minutes)? Jei šeši nešikai per 6 minutes nuneš fortepijoną į pirmąjį aukštą, kiek laiko vienam iš jų prireiks pianino pristatyti į šešiasdešimtąjį aukštą? Tokių uždavinių absurdiškumas primena ribotą visos matematikos pritaikomumą uždaviniams „iš gyvenimo“.
Apie galingą pardavėją
Svarstyklės nebenaudojamos. Prisiminkime, kad ant vieno tokių svarstyklių dubenėlio buvo dedamas svarelis, o ant kito – sveriamos prekės, o kai svoris buvo pusiausvyroje, tada prekės svėrė tiek, kiek svoris. Žinoma, abi svorio apkrovos svirties turi būti vienodo ilgio, kitaip svėrimas bus neteisingas.
O teisingai. Įsivaizduokite pardavėją, kurio svoris yra nevienodas. Tačiau jis nori būti sąžiningas su klientais ir sveria prekes dviem partijomis. Pirmiausia jis ant vienos keptuvės uždeda svarelį, o ant kitos atitinkamą kiekį prekių – kad svarstyklės būtų subalansuotos. Tada jis sveria antrąją prekių „pusę“ atvirkštine tvarka, tai yra, svorį uždeda ant antrojo dubens, o prekes – ant pirmojo. Kadangi rankos yra nelygios, „pusės“ niekada nėra lygios. Ir pardavėjo sąžinė švari, o pirkėjai giria jo sąžiningumą: „Ką čia išėmiau, tą paskui pridėjau“.
Tačiau atidžiau pažvelkime į pardavėjo, kuris nori būti sąžiningas, nepaisant nestabilaus svorio, elgesį. Tegul svarstyklių svirties ilgiai yra a ir b. Jei vienas iš dubenėlių prikrautas kilogramo svorio, o kitas – x prekių, tai svarstyklės yra pusiausvyroje, jei pirmą kartą ax = b, o antrą kartą bx = a. Taigi, pirmoji prekių dalis yra lygi b / kilogramui, antroji dalis yra a / b. Geras svoris turi a = b, todėl pirkėjas gaus 2 kg prekių. Pažiūrėkime, kas atsitiks, kai a ≠ b. Tada a – b ≠ 0 ir iš redukuotos daugybos formulės turime
Priėjome netikėtą rezultatą: iš pažiūros teisingas matavimo „vidurkinimo“ metodas šiuo atveju išeina į naudą pirkėjui, kuris gauna daugiau prekių.
5 priskyrimas. (Svarbu, jokiu būdu ne matematikoje!). Uodas sveria 2,5 miligramo, o dramblys – penkias tonas (tai gana teisingi duomenys). Apskaičiuokite uodų ir dramblių masės (svorių) aritmetinį, geometrinį ir harmoninį vidurkį. Patikrinkite skaičiavimus ir pažiūrėkite, ar jie yra prasmingi, be aritmetinių pratimų. Pažvelkime į kitus matematinių skaičiavimų pavyzdžius, kurie „realiame gyvenime“ neturi prasmės. Patarimas: šiame straipsnyje jau peržiūrėjome vieną pavyzdį. Ar tai reiškia, kad anoniminis studentas, kurio nuomonę radau internete, buvo teisinga: „Matematika kvailina žmones su skaičiais“?
Taip, sutinku, kad matematikos didybėje galima „apkvailinti“ žmones – kas antras šampūno reklama rašo, kad jis kažkiek procentų padidina purumą. Ar ieškosime kitų naudingų kasdienių įrankių, kuriuos galima panaudoti nusikalstamai veiklai, pavyzdžių?
Gramai!
Šios ištraukos pavadinimas yra veiksmažodis (daugiskaitos pirmuoju asmeniu), o ne daiktavardis (vienos tūkstantosios kilogramo dalies vardinis daugiskaita). Harmonija reiškia tvarką ir muziką. Senovės graikams muzika buvo mokslo šaka – reikia pripažinti, kad jei taip sakome, dabartinę žodžio „mokslas“ reikšmę perkeliame į laiką iki mūsų eros. Pitagoras gyveno XNUMX amžiuje prieš Kristų. Jis ne tik nežinojo kompiuterio, mobiliojo telefono ir elektroninio pašto, bet ir nežinojo, kas yra Robertas Lewandowskis, Mieszko I, Karolis Didysis ir Ciceronas. Jis nemokėjo nei arabiškų, nei net romėniškų skaitmenų (jie pradėti vartoti apie V a. pr. Kr.), nežinojo, kas yra Pūnų karai... Bet žinojo muziką...
Jis žinojo, kad styginių instrumentų virpesių koeficientai yra atvirkščiai proporcingi styginių vibruojančių dalių ilgiui. Jis žinojo, žinojo, tiesiog negalėjo to išreikšti taip, kaip mes tai darome šiandien.
Dviejų stygų virpesių, sudarančių oktavą, dažnių santykis yra 1:2, tai yra, aukštesnės natos dažnis yra du kartus didesnis už apatinės. Teisingas kvintosios vibracijos santykis yra 2:3, ketvirtasis yra 3:4, grynasis pagrindinis trečdalis yra 4:5, mažasis trečdalis yra 5:6. Tai malonūs priebalsių intervalai. Tada yra du neutralūs, kurių vibracijos santykis yra 6:7 ir 7:8, tada disonansiniai - didelis tonas (8:9), mažas tonas (9:10). Šios trupmenos (santykiai) yra tarsi sekos, kurią matematikai (dėl šios priežasties) vadina harmonine seka, nuoseklių narių santykiai:
yra teoriškai begalinė suma. Oktavos svyravimų santykį galima užrašyti kaip 2:4 ir tarp jų sudėti kvintą: 2:3:4, tai yra, oktavą padalinsime į kvintą ir ketvirtą. Matematikoje tai vadinama harmoninių segmentų padalijimu:
Ryžiai. 1. Muzikantui: oktavos AB padalijimas į penktąją AC.Matematikui: harmoninis segmentavimas
Ką aš turiu galvoje, kai kalbu (aukščiau) apie teoriškai begalinę sumą, pvz., harmonikų seką? Pasirodo, tokia suma gali būti bet koks didelis skaičius, svarbiausia, kad pridėtume ilgą laiką. Ingredientų lieka vis mažiau, bet jų vis daugėja. Kas vyrauja? Čia patenkame į matematinės analizės sritį. Pasirodo, ingredientai išsenka, bet ne itin greitai. Parodysiu, kad paėmus pakankamai ingredientų, galiu apibendrinti:
savavališkai didelis. Paimkime „pavyzdžiui“ n = 1024. Sugrupuokime žodžius taip, kaip parodyta paveikslėlyje:
Kiekviename skliaustelyje kiekvienas žodis yra didesnis už ankstesnį, išskyrus, žinoma, paskutinį, kuris yra lygus sau pačiam. Tolesniuose skliausteliuose turime 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ir 512 komponentų; sumos reikšmė kiekviename skliaustelyje yra didesnė nei ½. Visa tai yra daugiau nei 5½. Tikslesni skaičiavimai parodytų, kad ši suma yra maždaug 7,50918. Nedaug, bet visada, ir matote, kad imdamas n bet kokį didelį, galiu pranokti bet kokį skaičių. Šis neįtikėtinai lėtas (pavyzdžiui, į dešimtuką patenkame vien tik su ingredientais), bet begalinis augimas visada žavėjo matematikus.
Kelionė į begalybę su harmonikų serija
Štai gana rimtos matematikos galvosūkis. Turime neribotą kiekį stačiakampių blokelių (ką aš galiu pasakyti, stačiakampių!), kurių matmenys, tarkime, 4 × 2 × 1. Apsvarstykite sistemą, susidedančią iš kelių (įjungta pav. 2 - keturi) blokai, išdėstyti taip, kad pirmasis būtų pasviręs ½ ilgio, antrasis iš viršaus - ¼ ir tt, trečiasis - šeštadaliu. Na, gal kad būtų tikrai stabilu, pirmąją plytą pakreipkime šiek tiek mažiau. Skaičiavimams tai nesvarbu.
Ryžiai. 2. Svorio centro nustatymas
Taip pat nesunku suprasti, kad kadangi figūra, sudaryta iš pirmųjų dviejų blokų (skaičiuojant iš viršaus), turi simetrijos centrą taške B, tai B yra svorio centras. Geometriškai nustatykime sistemos, sudarytos iš trijų viršutinių blokų, svorio centrą. Čia pakanka labai paprasto argumento. Protiškai padalinkime trijų blokų kompoziciją į dvi viršutines ir trečią apatinę. Šis centras turi būti ant atkarpos, jungiančios dviejų dalių svorio centrus. Kurioje šio epizodo vietoje?
Yra du būdai nurodyti. Pirmajame panaudosime pastebėjimą, kad šis centras turi būti trijų blokų piramidės viduryje, t.y., tiesėje, kertančioje antrąjį, vidurinį bloką. Antruoju būdu suprantame, kad kadangi dviejų viršutinių blokų bendra masė yra dvigubai didesnė už vieno bloko Nr. 3 (viršuje), svorio centras šioje atkarpoje turi būti du kartus arčiau B nei centro. S trečiojo bloko. Panašiai randame ir kitą tašką: sujungiame trijų blokų rastą centrą su ketvirto bloko centru S. Visos sistemos centras yra 2 aukštyje ir taške, kuris atkarpą dalija nuo 1 iki 3 (ty ¾ jos ilgio).
Skaičiavimai, kuriuos atliksime šiek tiek toliau, veda į rezultatą, parodytą Fig. 3 pav. Iš eilės svorio centrai pašalinami iš dešiniojo apatinio bloko krašto:
Taigi piramidės svorio centro projekcija visada yra pagrindo viduje. Bokštas neapvirs. Dabar pažiūrėkime pav. 3 ir trumpam kaip pagrindą panaudokime penktą bloką iš viršaus (pažymėtą ryškesne spalva). Į viršų pakreiptas:
taigi jo kairysis kraštas yra 1 toliau nei dešinysis pagrindo kraštas. Štai kitas svyravimas:
Kas yra didžiausias sūpynės? Mes jau žinome! Didžiausio nėra! Paėmus net mažiausius blokelius, galima gauti vieno kilometro iškyšą – deja, tik matematiškai: tiek blokelių pastatyti neužtektų visos Žemės!
Ryžiai. 3. Pridėkite daugiau blokų
Dabar skaičiavimai, kuriuos palikome aukščiau. Visus atstumus skaičiuosime „horizontaliai“ ant x ašies, nes tik tiek. Taškas A (pirmojo bloko svorio centras) yra 1/2 nuo dešiniojo krašto. Taškas B (dviejų blokų sistemos centras) yra 1/4 atstumu nuo antrojo bloko dešiniojo krašto. Tegul pradžios taškas yra antrojo bloko pabaiga (dabar pereisime prie trečiojo). Pavyzdžiui, kur yra vieno bloko Nr. 3 svorio centras? Taigi pusė šio bloko ilgio yra 1/2 + 1/4 = 3/4 nuo mūsų atskaitos taško. Kur yra taškas C? Dviejuose trečdaliuose atkarpos tarp 3/4 ir 1/4, ty prieš tai esančiame taške, pakeičiame atskaitos tašką į dešinįjį trečiojo bloko kraštą. Trijų blokų sistemos svorio centras dabar pašalintas iš naujo atskaitos taško ir pan. Svorio centras Cn bokštas, sudarytas iš n blokų, yra 1/2n atstumu nuo momentinio atskaitos taško, kuris yra dešinysis pagrindinio bloko kraštas, t. y. n-tas blokas nuo viršaus.
Kadangi abipusių dydžių serija skiriasi, galime gauti bet kokį didelį skirtumą. Ar tai iš tikrųjų galėtų būti įgyvendinta? Tai tarsi begalinis mūrinis bokštas – anksčiau ar vėliau jis sugrius nuo savo svorio. Mūsų schemoje minimalūs blokų išdėstymo netikslumai (ir lėtas dalinių serijų sumų didėjimas) reiškia, kad labai toli nenueisime.
