penkis kartus į akį
2020 metų pabaigoje universitetuose ir mokyklose vyko keli renginiai, nukelti iš ... kovo mėn. Viena iš jų buvo pi dienos „šventė“. Ta proga, gruodžio 8 d., skaičiau nuotolinę paskaitą Silezijos universitete, o šis straipsnis yra paskaitos santrauka. Visas vakarėlis prasidėjo 9.42, o mano paskaita numatyta 10.28 val. Iš kur toks tikslumas? Tai paprasta: 3 kartus pi yra apie 9,42, o π iki 2 laipsnio yra apie 9,88, o valanda nuo 9 iki 88 laipsnio yra nuo 10 iki 28 ...
Paprotys gerbti šį skaičių, išreiškiantis apskritimo perimetro ir jo skersmens santykį ir kartais vadinamas Archimedo konstanta (taip pat ir vokiškai kalbančiose kultūrose), kilęs iš JAV (taip pat žiūrėkite: ). 3.14 Kovas “Amerikietiškas stilius” 22:22, iš čia ir kilo idėja. Lenkiškas atitikmuo galėtų būti liepos 7 d., nes trupmena 14/XNUMX gerai apytiksliai atitinka π, ką… Archimedas jau žinojo. Na, kovo XNUMX yra geriausias laikas šalutiniams renginiams.
Šios trys ir keturiolika šimtosios dalys yra viena iš nedaugelio matematinių žinučių, kurios mums liko iš mokyklos visam gyvenimui. Visi žino, ką tai reiškia"penkis kartus į akį“. Ji taip įsišaknijusi kalboje, kad sunku ją kitaip ir vienodai grakščiai išreikšti. Kai autoservise paklausiau, kiek gali kainuoti remontas, mechanikas pagalvojo ir pasakė: „penkis kartus apie aštuonis šimtus zlotų“. Nusprendžiau pasinaudoti situacija. "Turite omenyje apytikslę apytikslę reikšmę?". Mechanikas turėjo manyti, kad aš neteisingai išgirdau, todėl pakartojo: „Tiksliai nežinau, kiek, bet penki kartai iš akies būtų 800“.
.
Apie ką tai? Prieš Antrąjį pasaulinį karą vartojama rašyba kartu vartojo „ne“, ir aš jį ten palikau. Čia nekalbame apie pernelyg pompastišką poeziją, nors man patinka mintis, kad „auksinis laivas pumpuoja laimę“. Paklauskite mokinių: ką reiškia ši mintis? Tačiau šio teksto vertė slypi kitur. Raidžių skaičius šiuose žodžiuose yra pi plėtinio skaitmenys. Pažiūrėkime:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284
Vokiečių kilmės olandų mokslininkas 1596 m Ludolfas van Seulenas apskaičiavo pi reikšmę 35 skaitmenų po kablelio tikslumu. Tada šios figūros buvo išgraviruotos ant jo kapo. Ji skyrė eilėraštį skaičiui pi ir mūsų Nobelio premijos laureatui, Vislava Šimborska. Szymborską sužavėjo šio skaičiaus neperiodiškumas ir tai, kad ten su 1 tikimybe atsiras kiekviena skaitmenų seka, pavyzdžiui, mūsų telefono numeris. Nors pirmoji savybė būdinga kiekvienam neracionaliam skaičiui (kurį turėtume prisiminti iš mokyklos), antroji yra įdomus matematinis faktas, kurį sunku įrodyti. Jūs netgi galite rasti programų, kurios siūlo: duok man savo telefono numerį ir aš pasakysiu, kur jis yra pi.
Kur apvalumas, ten miegas. Jei turime apvalų ežerą, tai vaikščiojimas aplink jį yra 1,57 karto ilgesnis nei plaukimas. Žinoma, tai nereiškia, kad plauksime pusantro-du kartus lėčiau nei pravažiuosime. Pasidalinau 100 m pasaulio rekordą su 100 m pasaulio rekordu. Įdomu tai, kad vyrų ir moterų rezultatas yra beveik vienodas ir yra 4,9. Plaukiame 5 kartus lėčiau nei bėgame. Irklavimas visiškai kitoks – bet įdomus iššūkis. Jis turi gana ilgą siužetą.
Bėgdamas nuo persekiojančio Nedorėlio, gražuolis ir kilnus Gerasis išplaukė į ežerą. Nedorėlis bėga pakrante ir laukia, kol ji privers jį nusileisti. Žinoma, jis bėga greičiau nei Dobry eilės, o jei bėga sklandžiai, Dobry yra greitesnis. Taigi vienintelė galimybė Blogiui yra gauti Gėrį nuo kranto – tikslus šūvis iš revolverio nėra išeitis, nes. Gėris turi vertingos informacijos, kurią blogis nori žinoti.
Geras laikosi šios strategijos. Jis plaukia per ežerą, pamažu artėdamas prie kranto, bet visada stengdamasis būti priešingoje pusėje nei Piktasis, kuris atsitiktinai bėga į kairę, paskui į dešinę. Tai parodyta paveikslėlyje. Tegul Evil pradinė padėtis yra Z1, o Dobre yra ežero vidurys. Kai Zly persikelia į Z1, Dobro doplyvët do D.1kai Badas yra Z2, gerai su D2. Teks zigzagu, bet laikantis taisyklės: kuo toliau nuo Z. Tačiau tolstant nuo ežero centro Gėris turi judėti vis didesniais ratais, o kažkuriuo momentu negali. laikykitės principo „būti kitoje blogio pusėje“. Tada iš visų jėgų irklavo į krantą, tikėdamasis, kad Piktas ežero neaplenks. Ar Goodui pavyks?
Atsakymas priklauso nuo to, kaip greitai Goodis gali irkluoti, palyginti su Bado kojų verte. Tarkime, kad Blogasis ežere bėga greičiu, s kartus didesniu už Gerojo žmogaus greitį. Todėl didžiausio apskritimo, ant kurio Gėris gali irkluoti, kad atsispirtų blogiui, spindulys yra vieną kartą mažesnis už ežero spindulį. Taigi, mūsų brėžinyje. Taške W mūsų Kindas pradeda irkluoti kranto link. Tai turi praeiti
su greičiu
Jam reikia laiko.
Wicked vejasi visas savo geriausias kojas. Jis turi įveikti pusę apskritimo, o tai užtruks sekundes arba minutes, priklausomai nuo pasirinktų vienetų. Jei tai daugiau nei laiminga pabaiga:
Gerasis eis. Paprastos sąskaitos parodo, kas tai turėtų būti. Jei „Blogas žmogus“ bėga greičiau nei 4,14 karto už „Gerąjį“, viskas nesibaigia gerai. Ir čia taip pat įsiterpia mūsų skaičius pi.
Kas apvalu, tas gražu. Pažiūrėkime į trijų dekoratyvinių lėkščių nuotrauką – jas turiu po tėvų. Koks yra kreivinio trikampio plotas tarp jų? Tai paprasta užduotis; atsakymas yra toje pačioje nuotraukoje. Nesistebime, kad tai atsiranda formulėje – juk kur apvalumas, ten ir pi.
Vartojau galbūt nepažįstamą žodį:. Tai yra skaičiaus pi pavadinimas vokiškai kalbančioje kultūroje, ir visa tai dėka olandų (iš tikrųjų vokiečio, gyvenusio Nyderlanduose - tautybė tuo metu neturėjo reikšmės), Liudolfas iš Seulo... 1596 metais g. jis apskaičiavo 35 savo išplėtimo skaitmenis po kablelio. Šis rekordas išliko iki 1853 m Viljamas Rutherfordas suskaičiavo 440 vietų. Rankinių skaičiavimų rekordininkas yra (tikriausiai amžinai) Viljamas Šenksaskuris po daugelio metų darbo išleido (1873 m.) pratęsimas iki 702 skaitmenų. Tik 1946 m. buvo nustatyta, kad paskutiniai 180 skaitmenų buvo neteisingi, bet taip ir liko. 527 teisinga. Buvo įdomu rasti pačią klaidą. Netrukus po Shankso rezultato paskelbimo jie įtarė, kad „kažkas negerai“ – kuriamų septynetų buvo įtartinai mažai. Dar neįrodyta (2020 m. gruodžio mėn.) hipotezė teigia, kad visi skaičiai turi būti rodomi vienodai dažnai. Tai paskatino D.T.Fergusoną peržiūrėti Shankso skaičiavimus ir rasti „mokančiojo“ klaidą!
Vėliau žmonėms padėjo skaičiuotuvai, kompiuteriai. Dabartinis (2020 m. gruodžio mėn.) rekordininkas yra Timothy Mullicanas (50 trilijonų skaitmenų po kablelio). Skaičiavimai užtruko ... 303 dienas. Žaiskime: kiek vietos užimtų šis skaičius, atspausdintas standartinėje knygoje. Dar visai neseniai spausdinta teksto „pusė“ buvo 1800 simbolių (30 eilučių x 60 eilučių). Sumažinkime simbolių skaičių ir lapų paraštes, prikimškime 5000 ženklų viename puslapyje ir atsispausdinkime 50 puslapių knygų. Taigi XNUMX trilijonams simbolių prireiktų dešimties milijonų knygų. Neblogai, tiesa?
Kyla klausimas, kokia tokios kovos prasmė? Grynai ekonominiu požiūriu, kodėl mokesčių mokėtojas turėtų mokėti už tokias matematikų „pramogas“? Atsakymas nėra sunkus. Pirmas, iš Seulo sugalvojo ruošinius skaičiavimams, tada naudinga logaritminiams skaičiavimams. Jei jam būtų pasakyta: prašau, pastatyk ruošinius, jis būtų atsakęs: kodėl? Panašiai komanda:. Kaip žinote, šis atradimas nebuvo visiškai atsitiktinis, bet vis dėlto kitokio tipo tyrimų šalutinis produktas.
Antra, paskaitykime, ką jis rašo Timothy Mullicanas. Čia yra jo darbo pradžios reprodukcija. Profesorius Mullicanas užsiima kibernetiniu saugumu, o pi yra toks mažas pomėgis, kad jis ką tik išbandė savo naują kibernetinio saugumo sistemą.
O to 3,14159 inžinerijoje yra daugiau nei pakankamai, tai kitas reikalas. Atlikime paprastą skaičiavimą. Jupiteris nuo Saulės nutolęs 4,774 Tm (terometras = 1012 metrų). Norint apskaičiuoti tokio spindulio apskritimo perimetrą absurdišku 1 milimetro tikslumu, pakaktų paimti π = 3,1415926535897932.
Šioje nuotraukoje parodytas ketvirtis Lego kaladėlių apskritimas. Aš naudojau 1774 trinkelėmis ir tai buvo apie 3,08 pi. Ne pati geriausia, bet ko tikėtis? Apskritimas negali būti sudarytas iš kvadratų.
Būtent. Yra žinoma, kad skaičius pi apskritimo kvadratas – matematinė problema, kuri savo sprendimo laukia daugiau nei 2000 metų – nuo graikų laikų. Ar galite naudoti kompasą ir tiesiąją, kad sukurtumėte kvadratą, kurio plotas lygus nurodyto apskritimo plotui?
Sąvoka „apskritimo kvadratas“ į šnekamąją kalbą pateko kaip kažko neįmanomo simbolis. Paspaudžiu klavišą ir paklausiu, ar tai kažkoks bandymas užpildyti priešiškumo griovį, skiriantį mūsų gražios šalies piliečius? Bet aš jau vengiu šios temos, nes turbūt jaučiuosi tik matematikoje.
Ir vėl tas pats – apskritimo kvadratūros problemos sprendimas nepasirodė taip, kad sprendimo autorius, Charlesas Lindemannas1882 m. jis buvo įsteigtas ir galiausiai jam pavyko. Iš dalies taip, bet tai buvo atakos iš plataus fronto rezultatas. Matematikai sužinojo, kad yra įvairių skaičių. Ne tik sveikieji skaičiai, racionalūs (ty trupmenos) ir neracionalūs. Neišmatuojamumas taip pat gali būti geresnis arba blogesnis. Iš mokyklos galime prisiminti, kad neracionalusis skaičius yra √2 – skaičius, išreiškiantis kvadrato įstrižainės ilgio ir jo kraštinės ilgio santykį. Kaip ir bet kuris neracionalus skaičius, jis turi neapibrėžtą plėtinį. Priminsiu, kad periodinė plėtra yra racionaliųjų skaičių savybė, t.y. privatūs sveikieji skaičiai:
Čia neribotą laiką kartojasi skaičių seka 142857. √2 taip neatsitiks – tai dalis neracionalumo. Bet tu gali:
(frakcija tęsiasi amžinai). Čia matome modelį, bet kitokio tipo. Pi net nėra toks įprastas. Jo negalima gauti sprendžiant algebrinę lygtį, ty tokią, kurioje nėra nei kvadratinės šaknies, nei logaritmo, nei trigonometrinių funkcijų. Tai jau rodo, kad tai nekonstruojama – brėžiant apskritimus vedama į kvadratines funkcijas, o tieses – tieses – į pirmojo laipsnio lygtis.
Galbūt aš nukrypau nuo pagrindinio siužeto. Tik visos matematikos raida leido grįžti prie ištakų – prie senovės gražios matematikos mąstytojų, sukūrusių mums europietišką mąstymo kultūrą, dėl kurios šiandien kai kas taip abejoja.
Iš daugelio reprezentacinių modelių pasirinkau du. Pirmąją iš jų siejame su pavarde Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716).
Tačiau jis buvo žinomas (modelis, o ne Leibnicas) viduramžių induistų mokslininkui Madhavai iš Sangamagramos (1350–1425). Informacijos perdavimas tuo metu nebuvo didelis – interneto ryšiai dažnai buvo klaidingi, o mobiliesiems telefonams nebuvo baterijų (nes elektronika dar nebuvo išrasta!). Formulė graži, bet nenaudinga skaičiavimams. Iš šimto ingredientų gaunamas „tik“ 3,15159.
jam šiek tiek geriau Viète formulė (iš kvadratinių lygčių) ir jo formulę lengva užprogramuoti, nes kitas sandaugos narys yra kvadratinė šaknis iš ankstesnio plius du.
Mes žinome, kad ratas yra apvalus. Galime sakyti, kad tai 100 procentų turas. Matematikas paklaus: ar gali kažkas būti ne 1 procento apvalus? Matyt, tai yra oksimoronas, frazė, kurioje yra paslėptas prieštaravimas, pavyzdžiui, karštas ledas. Bet pabandykime išmatuoti, kokios apvalios gali būti formos. Pasirodo, gerą matą duoda tokia formulė, kurioje S yra plotas, o L yra figūros apskritimas. Išsiaiškinkime, kad apskritimas tikrai yra apvalus, kad sigma yra 6. Apskritimo plotas yra apskritimas. Įdedame... ir žiūrime, kas teisinga. Kiek apvalus yra kvadratas? Skaičiavimai tokie pat paprasti, jų net nepateiksiu. Paimkite taisyklingą šešiakampį, įbrėžtą į apskritimą, kurio spindulys. Akivaizdu, kad perimetras yra XNUMX.
lenkas
O kaip įprastas šešiakampis? Jo apimtis yra 6 ir plotas
Taigi mes turime
kuris apytiksliai lygus 0,952. Šešiakampis yra daugiau nei 95% "apvalus".
Įdomus rezultatas gaunamas skaičiuojant sporto stadiono apvalumus. Pagal IAAF taisykles tiesiosios ir posūkiai turi būti 40 metrų ilgio, nors nukrypimai leidžiami. Prisimenu, kad „Bislet“ stadionas Osle buvo siauras ir ilgas. Rašau „buvo“, nes net bėgau ant jo (mėgėjui!), bet daugiau nei prieš XNUMX metų. Pažiūrėkime:
Jei lanko spindulys yra 100 metrų, to lanko spindulys yra metrai. Vejos plotas – kvadratiniai metrai, o už jos ribų (kur yra tramplinai) – kvadratiniai metrai. Įtraukime tai į formulę:
Taigi ar sporto stadiono apvalumas turi ką nors bendro su lygiakraštiu trikampiu? Kadangi lygiakraščio trikampio aukštis yra tiek pat kartų kraštinės. Tai atsitiktinis skaičių sutapimas, bet malonu. Man tai patinka. O skaitytojai?
Na, gerai, kad jis apvalus, nors kai kas gali prieštarauti, nes virusas, kuris paveikia mus visus, yra apvalus. Bent jau taip jie piešia.
